题解：洛谷 P1461 海明码

【题目来源】

洛谷：P1461 [USACO2.1] 海明码 Hamming Codes - 洛谷

【题目描述】

给出 n,b,d，要求找出 n 个由 0,10,1 组成的编码，每个编码有 b 位），使得两两编码之间至少有 d 个单位的 “Hamming距离”。“Hamming距离”是指对于两个编码，他们二进制表示法中的不同二进制位的数目。看下面的两个编码 0x554 和 0x234（十六进制数）

0x554 = 0101 0101 0100
0x234 = 0010 0011 0100
不同位    xxx  xx

因为有五个位不同，所以“Hamming距离”是 5。

【输入】

一行，包括 n,b,d。

【输出】

n 个编码（用十进制表示），要排序，十个一行。如果有多解，你的程序要输出这样的解：假如把它化为 2^b 进制数，它的值要最小。

【输入样例】

16 7 3

【输出样例】

0 7 25 30 42 45 51 52 75 76
82 85 97 102 120 127

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n, b, d\)，要求找出 \(n\) 个 \(b\) 位二进制编码（\(0 \sim 2^b-1\)），使得任意两个编码的汉明距离 \(\ge d\)。输出按十进制升序排列，十个一行。若有多解，要求化为 \(2^b\) 进制时值最小（即十进制值最小）。

2. 算法选择：

   • 贪心构造：从小到大枚举候选数，每次选择第一个与已选所有数汉明距离均 \(\ge d\) 的数
   • 位运算计算汉明距离：逐位比较两个数的二进制位，统计不同位的数量

3. 关键步骤：

   • 读入：\(n\)（编码数量）、\(b\)（位数）、\(d\)（最小汉明距离）
   • 贪心构造编码（\(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)）：
     • 枚举候选数 \(j\) 从 \(0\) 到 \(2^b-1\)
     • 对当前候选 \(j\)，遍历已选编码 \(a[1..i-1]\)：
       • 计算 hamming(a[k], j, b)，若存在 \(< d\) 的，标记 flag = 1 并跳出
     • 若 flag == 0（与所有已选编码距离均 \(\ge d\)）：
       • a[i] = j，跳出内层循环，继续构造下一个编码
   • 输出：按十个一行的格式输出所有编码

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \cdot 2^b \cdot n \cdot b) = O(n^2 \cdot b \cdot 2^b)\)，实际因贪心提前终止远小于理论值
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，存储选中的编码

5. 贪心构造的核心思想：

   • 从小到大枚举保证最小性：从 \(0\) 开始依次尝试候选数，第一个满足条件的数必然是最小的，从而保证最终序列字典序最小
   • 汉明距离逐位计算：利用位运算 &1 取最低位，>>=1 右移，逐位比较统计不同位数
   • 增量式验证：新候选只需与已选编码比较，无需考虑未选编码
   • 贪心最优性：该问题中贪心策略能得到最优解，因为编码空间足够大（\(2^b\)），且从小到大选择不会阻塞后续选择
   • 适用于编码构造、距离约束、贪心选择类问题

【解题思路】

【算法标签】

普及 #位运算

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, b, d, a[70];
int hamming(int x, int y, int b)
{
    int cnt = 0;  // 定义计数器
    for (int i=1; i<=b; i++) {
        int xx = x&1, yy = y&1;  // 比较最后一位，如7&1==1,9&1==1
        if (xx!=yy) cnt++;  // 如果最后一位不相同，则不同数量加1
        x>>=1;  // xx和yy都向右移一位，下轮仍然做最后一位的比较
        y>>=1;
    }
    // cout << "cnt " << cnt << endl;
    return cnt;  // 返回所有位比较后不相同的位数
}
int main()
{
    cin >> n >> b >> d;  // 输入n、b和d
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 要找到n个数
        for (int j=0; j<1<<(b+1)-1; j++) {  // 数在0到1<<b的范围内，如b=7，数的范围为0-255
            int flag = 0;  // 定义标记
            for (int k=1; k<i; k++) {  // 题目要求与其他所有的数相比
                if (hamming(a[k], j, b)<d) {  // 只要遇到一个不符合要求的
                    flag = 1;  // 修改标记位
                    break;  // 退出循环
                }
            }
            if (!flag) {  // 如果都满足要求
                a[i] = j;  // 将j这个数赋值给a[i]
                break;  // 退出循环，继续下轮查找
            }
        }
    }
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 遍历a数组中的所有数
        cout << a[i] << " ";  // 依次输出
        if (i%10==0) cout << endl;  // 遇到i为10的倍数，就输出换行
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

【运行结果】

16 7 3
0 7 25 30 42 45 51 52 75 76
82 85 97 102 120 127