题解：洛谷 P1460 健康的荷斯坦奶牛

【题目来源】

洛谷：P1460 [USACO2.1] 健康的荷斯坦奶牛 Healthy Holsteins - 洛谷

【题目描述】

农民 John 以拥有世界上最健康的奶牛为傲。他知道每种饲料中所包含的牛所需的最低的维他命量是多少。请你帮助农夫喂养他的牛，以保持它们的健康，使喂给牛的饲料的种数最少。

给出牛所需的最低的维他命量，输出喂给牛需要哪些种类的饲料，且所需的饲料剂量最少。

维他命量以整数表示，每种饲料最多只能对牛使用一次，数据保证存在解。

【输入】

第一行一个整数 v，表示需要的维他命的种类数。第二行 v 个整数，表示牛每天需要的每种维他命的最小量。

第三行一个整数 g，表示可用来喂牛的饲料的种数。下面 g 行，第 n 行表示编号为 n 饲料包含的各种维他命的量的多少。

【输出】

输出文件只有一行，包括牛必需的最小的饲料种数 p；后面有 p 个数，表示所选择的饲料编号（按从小到大排列）。

如果有多个解，输出饲料序号最小的（即字典序最小）。

【输入样例】

4
100 200 300 400
3
50  50  50  50
200 300 200 300
900 150 389 399

【输出样例】

2 1 3

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(v\) 种维他命的最小需求量，以及 \(g\) 种饲料各自含有的维他命量。要求选择最少数量的饲料，使得每种维他命的总量均满足最小需求。若有多解，输出饲料编号字典序最小的方案。这是一个子集枚举 + 可行性验证问题。

2. 算法选择：

   • DFS 枚举子集：对每个饲料编号 \(pos\)，决策"选"或"不选"，递归搜索所有可能的子集
   • 剪枝优化：当已选数量 \(cnt \ge minSelCnt\) 时提前返回（当前已不可能更优）
   • 可行性验证：对选定的饲料子集，累加每种维他命的总量，判断是否全部满足需求

3. 关键步骤：

   • 读入数据：\(v\)（维他命种类数）、\(v[1..v]\)（最小需求量）、\(g\)（饲料种数）、\(f[i][j]\)（饲料 \(i\) 中维他命 \(j\) 的含量）
   • DFS 函数 dfs(pos, cnt)：
     • pos：当前考虑的饲料编号
     • cnt：已选择的饲料数量
     • 终止条件：若 \(pos > g\)，调用 check(cnt) 验证当前选择，若满足需求且 \(cnt < minSelCnt\)，更新最优解
     • 选择当前饲料：sel[cnt+1] = pos，递归 dfs(pos+1, cnt+1)
     • 不选当前饲料：递归 dfs(pos+1, cnt)
   • 验证函数 check(selCnt)：
     • 对每种维他命 \(i\)，累加所选饲料中该维他命的含量 sum
     • 若存在 sum < v[i]，返回 false
     • 全部满足返回 true
   • 输出：最小选择数及对应的饲料编号

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(2^g \cdot v \cdot g)\)，枚举 \(2^g\) 个子集，每个验证 \(O(v \cdot g)\)
   • 空间复杂度：\(O(g)\)，递归深度和选择数组

5. DFS 子集枚举的核心思想：

   • 二进制决策模型：每个饲料只有"选"或"不选"两种状态，DFS 按编号顺序枚举形成一棵决策树
   • 最优性剪枝：维护当前最优解 \(minSelCnt\)，当 \(cnt \ge minSelCnt\) 时无需继续搜索该分支
   • 字典序自然保证：按编号 \(1 \sim g\) 顺序决策，先选后递归，首次找到的最小数量解即为字典序最小
   • 可行性优先于最优性：先找到任意可行解获得 \(minSelCnt\) 初值，后续搜索以此剪枝
   • 适用于子集选择、组合优化、最小覆盖类问题

【解题思路】

【算法标签】

普及- #DFS-一维

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int vType, fType, p;
int v[30], f[20][30], sel[20], ans[20];
int minSelCnt = 20;
bool check(int selCnt)  // 定义维他命检查函数
{
    for (int i=1; i<=vType; i++) {  // 依次遍历所有维他命种类
        int sum = 0;  // 定义每种维他命的总数，每次循环初始为0
        for (int j=1; j<=selCnt; j++) {  // 依次遍历选择的那些饲料
            sum += f[sel[j]][i];  // sum加上选择的饲料编号的维他命值
        }
        if (sum<v[i]) {  // 如果总和
            return false;
        }
    }
    return true;
}
void dfs(int pos, int cnt)  // 定义dfs函数，pos为饲料编号，cnt为饲料选择的数量
{
    if (pos > fType) {  // dfs退出条件，直到选到最后一种饲料编号
        if (check(cnt) && cnt < minSelCnt) {  // 如果此时选择的饲料的每种维他命之和大于最小维他命需要，且选择数量小于最小选择数量
            minSelCnt = cnt;  // 更新最小选择数量
            for (int i=1; i<=cnt; i++) {  // 更新结果数组，即更新为选择的饲料种类
                ans[i] = sel[i];
            }
        }
        return;  // 一定要写！
    }
    sel[cnt+1] = pos;  // 选择编号为pos的饲料
    dfs(pos+1, cnt+1);  // 继续选择pos+1编号的饲料，cnt自增1
    sel[cnt+1] = 0;  // 不选编号为pos的饲料，不选就用0占位（这句可以忽略，因为下一句dfs中cnt不变，下次执行后会被修改）
    dfs(pos+1, cnt);  // 继续dfs搜索pos+1编号的饲料，但cnt不增加
}
int main()
{
    cin >> vType;  // 输入需要的维他命种类数
    for (int i=1; i<=vType; i++) {  // 遍历维他命种类数
        cin >> v[i];  // 输入每种维他命的最小量
    }
    cin >> fType;  // 输入饲料种数
    for (int i=1; i<=fType; i++) {  // for循环遍历饲料种数
        for (int j=1; j<=vType; j++) {  // for循环遍历维他命种类数
            cin >> f[i][j];  // 输入这种饲料各种维他命的值
        }
    }
    dfs(1, 0);  // 使用dfs搜索，起始饲料编号为1，0种选择
    cout << minSelCnt << " ";
    for (int i=1; i<=minSelCnt; i++) {
        cout << ans[i] << " ";
    }
    return 0;
}

【运行结果】

4
100 200 300 400
3
50  50  50  50
200 300 200 300
900 150 389 399
2 1 3