题解：洛谷 P1444 虫洞

【题目来源】

【题目描述】

Farmer John 周末进行高能物理实验的结果却适得其反，导致 \(n\) 个虫洞出现在农场上，农场是一个二维平面，没有两个虫洞处于同一位置。

根据他的计算，FJ 知道他的虫洞两两配对，形成 \(\dfrac{n}{2}\) 对配对。例如，如果 \(A\) 和 \(B\) 的虫洞连接成一对，进入虫洞 \(A\) 的任何物体将从虫洞 \(B\) 出去，方向不变；反之亦然。

然而这可能发生相当令人不快的后果。例如，假设有两个成对的虫洞 \(A(1,1)\) 和 \(B(3,1)\)，Bessie 从 \((2,1)\) 开始朝着 \(x\) 正方向移动。Bessie 将进入虫洞 \(B(3,1)\)，从 \(A(1,1)\) 出去，然后再次进入 \(B\)，困在一个无限循环中！

FJ 知道他的农场里每个虫洞的确切位置。他知道 Bessie 总是向 \(x\) 正方向走进来，虽然他不记得贝茜的当前位置。

请帮助 FJ 计算有多少种虫洞配对方案，使得存在一个位置，使得 Bessie 从该位置出发，会被困在一个无限循环中。

【输入】

第一行一个正整数 \(n\)，表示虫洞数量。

接下来 \(n\) 行，每行两个整数 \(x,y\)，表示一个虫洞的坐标。

【输出】

输出一行一个整数表示答案。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定 \(n\) 个虫洞的二维坐标，要求将它们两两配对形成 \(n/2\) 对。Bessie 从任意位置向 \(x\) 正方向移动，会进入遇到的第一个虫洞（同 \(y\) 坐标且 \(x\) 更大），从配对虫洞穿出后继续向 \(x\) 正方向移动。求存在无限循环的配对方案数。这是一个DFS 枚举配对 + 环检测问题。
算法选择：
- 预处理同层后继：按 \(x\) 坐标排序后，对每个虫洞 \(i\) 预处理 to[i]，表示同 \(y\) 坐标下右侧最近的虫洞（即向 \(x\) 正方向走会进入的虫洞）
- DFS 枚举所有配对：用 v[i] 记录虫洞 \(i\) 的配对对象，递归枚举所有可能的完美匹配
- 环检测验证：对每种配对方案，从每个虫洞出发模拟 Bessie 的行走过程，若访问到已访问节点则存在循环
关键步骤：
- 读入与排序：读入 \(n\) 个虫洞坐标，按 \(x\) 升序、\(y\) 升序排序
- 预处理 to 数组：对每个虫洞 \(i\)，找到同 \(y\) 坐标且 \(x\) 更大的最近虫洞 \(j\)，to[i] = j（若不存在则为 0）
- DFS 枚举配对 dfs(x)：
  - 若 \(x > n\)，所有虫洞已配对，进入验证阶段
  - 若 v[x] 已配对，直接 dfs(x+1)
  - 否则枚举 \(i \in [x+1, n]\) 中未配对的虫洞，令 v[x] = i, v[i] = x，递归后回溯
- 验证循环（配对完成时）：
  - 对每个起始虫洞 \(i\)，初始化 vis 数组
  - 模拟行走：x = to[v[x]]，即从当前虫洞穿出后进入同层下一个虫洞
  - 若 vis[to[v[x]]] 已为 1，说明进入循环，ans++ 并返回
- 输出结果：存在循环的配对方案数 \(ans\)
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O((n-1)!! \cdot n^2)\)，\((n-1)!!\) 为完美匹配数，每种匹配验证 \(O(n^2)\)
- 空间复杂度：\(O(n)\)，存储坐标、配对关系和访问标记
DFS 配对 + 环检测的核心思想：
- 运动规则建模：Bessie 向 \(x\) 正方向移动，只会进入同 \(y\) 坐标右侧最近的虫洞，用 to 数组预处理后行走过程变为确定性跳转
- 配对即图论边：虫洞配对形成无向边，行走过程为 当前虫洞 → 配对虫洞 → 同层后继虫洞 → 配对虫洞 → ... 的交替路径
- 循环判定条件：若某虫洞在模拟中被第二次访问，说明路径形成环，Bessie 被困
- 完美匹配枚举：\(n\) 个点的两两配对数为 \((n-1)!!\)，DFS 按序枚举保证不重复不遗漏
- 适用于图论配对、状态空间枚举、环检测类问题

【解题思路】

【算法标签】

普及 #DFS-图

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,to[15],v[15],ans,vis[15];
struct node{
    int x,y,id;
}a[15];
bool cmp(node a,node b){  // 按照x坐标从小到大，y坐标从小到大排序
    if (a.x!=b.x) return a.x<b.x;
    return a.y < b.y;
}
void dfs(int x){
    if(x>n){  // 搜索退出条件
        for(int i=1;i<=n;i++){//枚举每个节点进去
            x=i;
            memset(vis,0,sizeof(vis));  // 每轮都需初始化vis数组，用来标记那些节点已经访问过
            while(x){  // 还能走
                vis[x]=1;  // 标记已经走过
                if(vis[to[v[x]]]){  // 下一个要进去的洞进去过，v表示相连，to表示最终会到达，如从1出发->走到2->虫洞连到3->走到4->虫洞连到1（循环往复）
                    ans++;  // 配对数自增1
                    return;  // 返回
                }
                x=to[v[x]];  // 如果没有访问过，修改x，继续往下走
            }
        }
    }
    if(v[x]){  // 对于已经相连的节点，直接进行下一轮搜索，如dfs(4)，此时v[4]=3
        dfs(x+1);
        return;
    }
    for(int i=x+1;i<=n;i++) {
        if(!v[i]){  // 如果某个点没有与其他点连接
            v[i]=x;  // 枚举2个节点，并相连
            v[x]=i;
            dfs(x+1);  // 进行下一个节点的搜索，如1与2,2与3,3与4
            v[i]=v[x]=0;  // 还原现场
        }
    }

}
int main(){
    cin >> n;  // 输入n
    for(int i=1;i<=n;i++) {  // 遍历n个虫洞
        cin >> a[i].x >> a[i].y;  // 输入每个虫洞的坐标
    }
    sort(a+1,a+1+n,cmp);  // 按照x坐标和y坐标的从小到大进行排序
    for(int i=1;i<=n;i++) {  // 双重for循环枚举所有点
        for(int j=i+1;j<=n;j++) {  // 每个点和后面的点进行配对
            if(a[i].y==a[j].y){  // 如果y轴相同（即向右走一定与走到）
                to[i]=j;  // 将这两个点连起来。
                break;
            }
        }
    }
    dfs(1);  // 进行dfs深搜
    cout << ans << endl;  // 输出方案数
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-03 08:47 团爸讲算法阅读(13) 评论(0) 收藏举报

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