题解：洛谷 P1217 回文质数

【题目来源】

洛谷：P1217 [USACO1.5] 回文质数 Prime Palindromes - 洛谷

【题目描述】

因为 $151 $ 既是一个质数又是一个回文数（从左到右和从右到左是看一样的），所以 \(151\) 是回文质数。

写一个程序来找出范围 \([a,b](5\le a\lt b\le 100,000,000)\)（一亿）间的所有回文质数。

【输入】

第一行输入两个正整数 \(a\) 和 \(b\)。

【输出】

输出一个回文质数的列表，一行一个。

【输入样例】

5 500

【输出样例】

5
7
11
101
131
151
181
191
313
353
373
383

【核心思想】

1. 问题分析：给定范围 \([a, b]\)（\(5 \leq a < b \leq 10^8\)），要求找出所有既是回文数又是质数的数。直接枚举 \([a, b]\) 内每个数判断会超时，需要利用回文质数的数学性质进行剪枝优化。

2. 算法选择：

   • 回文判定：将数字反转后与原数比较，\(O(\log_{10} n)\)
   • 质数判定：试除法，只需检查到 \(\sqrt{n}\)，且跳过偶数
   • 关键剪枝：偶数位数的回文数（除 11 外）必能被 11 整除，因此 \(> 10^7\) 的数不可能是回文质数，将 \(b\) 上限截断到 \(10^7\)

3. 关键步骤：

   • 读入范围：\(a, b\)
   • 调整起点：若 \(a\) 为偶数，\(a++\)（除 2 外偶数不是质数）
   • 截断上限：若 \(b > 10^7\)，令 \(b = 10^7\)（数学剪枝）
   • 枚举奇数：\(i\) 从 \(a\) 到 \(b\)，步长为 \(2\)
     • 调用 isPalindrome(i) 判断回文
     • 调用 isPrime(i) 判断质数
     • 两者均满足则输出
   • 输出结果：每个回文质数一行

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O((b-a) \cdot \sqrt{b} \cdot \log b)\)，实际因剪枝和步长优化远小于理论值
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅需常数级变量

5. 数论剪枝的核心思想：

   • 偶数跳过：除 2 外所有偶数都不是质数，步长设为 2 减少一半枚举量
   • 11 的倍数性质：偶数位回文数（如 abba、abcba 的扩展）的数字和交错相减为 0，必被 11 整除。因此 \(> 10^7\)（8 位数起）无回文质数
   • 先回文后质数：回文数密度远低于质数，先判断回文可快速排除大部分数
   • 试除法优化：只需检查到 \(\sqrt{n}\)，且跳过所有偶数因子
   • 适用于大范围质数筛选、回文数判定、数论性质剪枝类问题

【解题思路】

【算法标签】

普及- #质数

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>  // 包含标准库头文件（万能头文件）
using namespace std;      // 使用标准命名空间

/**
 * 判断一个数是否是回文数
 * @param n 要判断的数字
 * @return 如果是回文数返回true，否则返回false
 */
bool isPalindrome(int n)
{
    int s = 0, k = n;    // s存储反转后的数字，k是n的临时副本
    while (k != 0)
    {
        s *= 10;         // 左移一位
        s += k % 10;     // 添加最后一位数字
        k /= 10;         // 移除最后一位数字
    }
    if (s == n)          // 比较反转后的数字和原数字
        return true;
    return false;
}

/**
 * 判断一个数是否是质数
 * @param n 要判断的数字
 * @return 如果是质数返回true，否则返回false
 */
bool isPrime(int n)
{
    // 从3开始检查到√n，步长为2（跳过偶数）
    for (int i = 3; i <= sqrt(n); i = i + 2)
    {
        if (n % i == 0)  // 如果能被整除，不是质数
            return false;
    }
    return true;
}

/**
 * 主函数 - 程序入口
 * @return 程序执行状态码（0表示成功）
 */
int main()
{
    int a, b;            // 定义变量：查找范围[a,b]
    cin >> a >> b;       // 输入查找范围

    // 确保从奇数开始查找（偶数不可能是质数）
    if (a % 2 == 0)
        a++;

    // 优化：超过10000000的数字不可能是回文质数
    if (b > 10000000)
        b = 10000000;

    // 遍历范围内的奇数，查找回文质数
    for (int i = a; i <= b; i = i + 2)
    {
        // 如果是回文数且是质数
        if (isPalindrome(i) && isPrime(i))
        {
            cout << i << endl;  // 输出该回文质数
        }
    }

    return 0;            // 程序正常结束
}

【运行结果】

5 500
5
7
11
101
131
151
181
191
313
353
373
383