题解：洛谷 P1216 数字三角形

【题目来源】

洛谷：P1216 [IOI 1994] 数字三角形 Number Triangles - 洛谷

【题目描述】

观察下面的数字金字塔。

写一个程序来查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以走到左下方的点也可以到达右下方的点。

在上面的样例中，7→3→8→7→5 的路径产生了最大权值。

【输入】

第一个行一个正整数 r ，表示行的数目。

后面每行为这个数字金字塔特定行包含的整数。

【输出】

单独的一行，包含那个可能得到的最大的和。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定一个 \(r\) 行的数字三角形，从顶部 \((1,1)\) 出发，每次可向左下方 \((i+1, j)\) 或右下方 \((i+1, j+1)\) 移动，求到达底部任意位置的路径数字和最大值。这是一个经典的动态规划问题，具有最优子结构性质。
算法选择：
- 自底向上 DP：从倒数第二行开始向上递推，每个位置更新为"当前值 + 左下/右下较大值"
- 记忆化搜索（DFS）：从顶部递归向下，用 \(f[x][y]\) 记录从 \((x,y)\) 到底部的最大路径和，避免重复计算
- 两种方法等价：自底向上是递推实现，记忆化搜索是递归实现，时间复杂度相同
关键步骤：
- 读入数据：\(r\) 和三角形数组 \(a[i][j]\)
- 方法一：自底向上递推：
  - 从 \(i = r-1\) 到 \(1\) 倒序遍历行
  - 对每行 \(j\) 从 \(1\) 到 \(i\)：a[i][j] += max(a[i+1][j], a[i+1][j+1])
  - 答案为 a[1][1]
- 方法二：记忆化搜索：
  - 初始化 \(f\) 数组为 \(-1\)（未计算标记）
  - dfs(x, y)：若 \(f[x][y] \neq -1\) 直接返回；若 \(x = r\) 返回 \(a[x][y]\)；否则 \(f[x][y] = a[x][y] + \max(\text{dfs}(x+1, y), \text{dfs}(x+1, y+1))\)
  - 答案为 \(f[1][1]\)
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(r^2)\)，遍历三角形所有节点一次
- 空间复杂度：\(O(r^2)\)，存储三角形和 DP 数组
动态规划的核心思想：
- 最优子结构：从 \((i,j)\) 到底部的最大路径和 = \(a[i][j]\) + \(\max\)(从左下出发的最大和, 从右下出发的最大和)
- 无后效性：\((i,j)\) 的最优值只依赖于下一行的两个值，与如何到达 \((i,j)\) 无关
- 状态压缩潜力：自底向上方法可只用一维数组滚动优化，但二维实现更清晰
- 重叠子问题：记忆化搜索中大量状态被重复访问，\(f\) 数组避免重复计算
- 适用于路径最值、树形 DP、递推关系明确的优化问题

【解题思路】

【算法标签】

普及- #递推

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int r, sum=0, mark;
int a[1005][1005]={0};
int main()
{
    cin >> r;  // 输入r
    for (int i=1; i<=r; i++) {  // 使用二维数组记录输入的数字
        for (int j=1; j<=i; j++) {  // 每列长度不一样，注意这里是j<=i
            cin >> a[i][j];
        }
    }
    for (int i=r-1; i>=1; i--) {  // 使用线性dp方法，从倒数第二行开始计算
        for (int j=1; j<=i; j++) {
            a[i][j] = max(a[i][j]+a[i+1][j], a[i][j]+a[i+1][j+1]);  // 每个元素修改为与左下方相加或与右下角相加的最大值
        }
    }
    cout << a[1][1] << endl;  // 最后输出顶端位置的值
    return 0;
}

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1005;  // 定义最大行数
int r;  // 三角形的行数
int a[N][N];  // 存储三角形的每个节点的值
int f[N][N];  // 记忆化数组，f[x][y]表示从(x,y)到底部的最大路径和

// 深度优先搜索（DFS）+ 记忆化搜索，计算从(x,y)到底部的最大路径和
int dfs(int x, int y)
{
    // 如果已经计算过，直接返回结果
    if (f[x][y] != -1) return f[x][y];

    // 如果当前是最后一行，直接返回当前节点的值
    if (x == r)
    {
        f[x][y] = a[x][y];
    }
    else
    {
        // 递归计算从下一行的两个相邻节点到底部的最大路径和，并加上当前节点的值
        f[x][y] = a[x][y] + max(dfs(x + 1, y), dfs(x + 1, y + 1));
    }
    return f[x][y];  // 返回从(x,y)到底部的最大路径和
}

int main()
{
    cin >> r;  // 输入三角形的行数
    for (int i = 1; i <= r; i++)
        for (int j = 1; j <= i; j++)
            cin >> a[i][j];  // 输入三角形的每个节点的值

    memset(f, -1, sizeof(f));  // 初始化记忆化数组为-1，表示未计算
    dfs(1, 1);  // 从三角形的顶部开始计算最大路径和
    cout << f[1][1] << endl;  // 输出从顶部到底部的最大路径和

    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-03 08:46 团爸讲算法阅读(32) 评论(0) 收藏举报

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普及- #递推

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