题解：洛谷 P1202 黑色星期五

【题目来源】

洛谷：P1202 [USACO1.1] 黑色星期五Friday the Thirteenth - 洛谷

【题目描述】

13 号又是一个星期五，那么 13号在星期五比在其他日子少吗？

为了回答这个问题，写一个程序，要求计算每个月的十三号落在周一到周日的次数。给出 n 年的一个周期，要求计算 1900 年 1 月 1 日至 1900+n−1 年 12 月 31 日中十三号落在周一到周日的次数。

这里有一些你要知道的：

1. 1900 年 11 月 11 日是星期一。
2. 4,6,11 和 9 月有 30 天，其他月份除了 2 月都有 31 天，闰年 2 月有 29 天，平年 2 月有 28 天。
3. 年份可以被 4 整除的为闰年（1992=4×498 所以 1992 年是闰年，但是 1990 年不是闰年）。
4. 以上规则不适合于世纪年。可以被 400 整除的世纪年为闰年，否则为平年。所以，1700,1800,1900,2100 年是平年，而 2000 年是闰年。

【输入】

一个正整数 n。

【输出】

依次输出周六、日、一、二、三、四、五在 13 日出现的次数。

【输入样例】

20

【输出样例】

36 33 34 33 35 35 34

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 年周期（1900 年至 \(1900+n-1\) 年），需要统计每个月 13 号落在周六、日、一、二、三、四、五的次数。关键在于确定每个月 13 号是星期几，而星期几由该月 13 号距离某个已知星期几的基准日的天数决定。

2. 算法选择：

   • 日期递推：以 1900 年 1 月 1 日为起点，逐月累加天数，利用模 7 运算确定星期几
   • 闰年判断：根据规则判断每年是否为闰年，选择对应月份天数
   • 偏移量计算：每个月 13 号的星期 = \((\text{该月1号距离基准日的天数} + 12) \bmod 7\)，代码中用 (day + 13) % 7（day 为当月 1 号距离 1900 年 1 月 1 日的天数，加 13 等价于加 12 偏移到 13 号）

3. 关键步骤：

   • 初始化：day = 0 表示 1900 年 1 月 1 日距离自身的偏移为 0 天
   • 闰年判断函数 f(n)：
     • 若 \(n \bmod 4 = 0\) 且 \(n \bmod 100 \neq 0\)，或 \(n \bmod 400 = 0\)，则为闰年
   • 逐月遍历（外层年份 \(i\)，内层月份 \(j\)）：
     • 计算当月 13 号的星期索引：c[(day + 13) % 7]++
     • 更新 day：加上当月总天数（闰年用 \(m2[j]\)，平年用 \(m1[j]\)），使 day 变为下月 1 号的偏移量
   • 输出：按周六(\(c[6]\))、日(\(c[0]\))、一(\(c[1]\))…五(\(c[5]\)) 的顺序输出

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(12n)\)，遍历 \(n\) 年每年 12 个月，闰年判断 \(O(1)\)
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅需常数级数组存储月份天数和计数

5. 日期递推的核心思想：

   • 基准日锚定：以已知星期几的日期（1900 年 1 月 1 日，星期一）为基准，所有日期通过天数偏移量确定星期
   • 模 7 周期性：星期每 7 天循环一次，因此 \((\text{偏移天数}) \bmod 7\) 即可得到星期索引
   • 逐月累加而非逐日：不需要遍历每一天，只需记录每月 1 号的偏移量，加 12 即得 13 号偏移量，再加当月天数即得下月 1 号偏移量
   • 闰年规则精确建模：世纪年需被 400 整除才为闰年，单独处理 2 月天数
   • 适用于固定周期内日期星期统计、日历生成等问题

【解题思路】

【算法标签】

普及- #数学

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool f(int n)  // 定义闰年判断函数
{
    if (n%4==0 && n%100!=0 || n%400==0) {  // 模板（背下来！！！）
        return true;
    }
    return false;
}
int m1[13] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};  // 定义平年和闰年的每个月日子数
int m2[13] = {0, 31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};
int c[10] = {0};  // 定义c数组，统计周一-周日的计数
int n, day=0;
int main()
{
    cin >> n;  // 输入n
    for (int i=1900; i<=1900+n-1; i++) {  //从1900年遍历至1900+n-1年
        for (int j=1; j<=12; j++) {  // 依次遍历每个月
            if (f(i)) {  // 如果为闰年
                c[(day+13)%7]++;  // 先计算余数，并自增
                day = day + m2[j];  // 再增加天数，2月要加31天，3月要加29年。到了下一年的1月，则是加上前一年的12月31天
            } else {  //平年的计算过程，同上
                c[(day+13)%7]++;
                day = day + m1[j];
            }
        }
    }
    cout << c[6] << " " << c[0] << " " << c[1] << " " << c[2] << " " << c[3] << " " << c[4] << " " << c[5] << endl; // 因为没有遍历的规律，所以按要求依次输出周六、日、一、二、三、四、五的计数
    return 0;
}

【运行结果】

20
36 33 34 33 35 35 34