题解：洛谷 P1458 顺序的分数

【题目来源】

洛谷：P1458 [USACO2.1] 顺序的分数 Ordered Fractions - 洛谷

【题目描述】

输入一个自然数 \(n\)，对于一个最简分数 \(a/b\)（分子和分母互质的分数），满足 \(1≤b≤n,0≤a/b≤1\)，请找出所有满足条件的分数。

这有一个例子，当 \(n=5\) 时，所有解为：

给定一个自然数 \(n\)，请编程按分数值递增的顺序输出所有解。

注：

1、\(0\) 和任意自然数的最大公约数就是那个自然数。

2、互质指最大公约数等于1的两个自然数。

【输入】

单独的一行一个自然数 \(n\)

【输出】

每个分数单独占一行，按照大小次序排列

【输入样例】

5

【输出样例】

0/1
1/5
1/4
1/3
2/5
1/2
3/5
2/3
3/4
4/5
1/1

【核心思想】

1. 问题分析：给定自然数 \(n\)，要求输出所有满足 \(0 \le a \le b \le n\) 且 \(\gcd(a,b)=1\) 的最简分数 \(a/b\)，并按数值递增排列。该序列正是法里序列（Farey Sequence）\(F_n\)。

2. 算法选择：

   • 枚举 + 排序：枚举所有满足 \(0 \le a \le b \le n\) 的分数对，用 \(\gcd(a,b)=1\) 筛选最简分数，按浮点值排序后输出
   • 浮点比较：用 double 存储分数值用于排序，分子分母用整数存储用于输出

3. 关键步骤：

   • 读入：\(n\)
   • 初始化：fra[0] = {0.0, 0, 1}，表示 \(0/1\)
   • 双重枚举：
     • 外层 \(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)（分子）
     • 内层 \(j\) 从 \(i\) 到 \(n\)（分母，保证 \(a \le b\)）
     • 若 \(\gcd(i, j) = 1\)：记录 fra[mark] = {1.0*i/j, i, j}，mark++
   • 排序：按 res 升序排列所有分数
   • 输出：依次输出每个分数的分子和分母

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n^2 \log n)\)，枚举 \(O(n^2)\) 个分数，排序 \(O(n^2 \log n^2)\)
   • 空间复杂度：\(O(n^2)\)，存储所有最简分数

5. 枚举排序的核心思想：

   • 范围控制：\(a \le b \le n\) 且 \(a/b \le 1\)，内层从 \(i\) 开始枚举避免重复和超界
   • 互质筛选：\(\gcd(a,b)=1\) 保证分数为最简形式，避免重复输出等价分数
   • 浮点辅助排序：用 double 存储数值用于比较排序，输出时用原始整数分子分母保证精度
   • 法里序列性质：该序列具有相邻项满足 \(bc-ad=1\) 的性质，但本题数据范围小，直接枚举排序即可
   • 适用于小规模分数枚举、互质对统计、有序序列生成等问题

【解题思路】

【算法标签】

普及- #约数

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, mark;
struct node {  // 定义分数结构体
    double res;  // 分数结果，注意是double类型
    int a, b;  // 分子和分母
}fra[25600];  // 按照160*160的最大范围开辟结构体数组
int gcd(int a, int b)  // 最大公约数模板（背就完了！）
{
    int r = a % b;
    while (r!=0) {
        a = b;
        b = r;
        r = a % b;
    }
    return b;
}
bool cmp (node x, node y)  // 比较函数，按照res从小到大排序
{
    return x.res<y.res;
}
int main()
{
    cin >> n;  // 输入n
    fra[0].res = 0;  // 数组第1个res为0
    fra[0].a = 0, fra[0].b = 1;  // 分子为0，分母为1
    mark=1;  // 定义计数器
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 从1遍历至n
        for (int j=i; j<=n; j++) {  // 从i遍历至n
            if (gcd(i,j)==1) {  // 如果分子和分母的最大公约数为1
                fra[mark].res = 1.0*i/j;  // 记录分数结果
                fra[mark].a = i, fra[mark].b = j;  // 以及分子和分母
                mark++;  // 计数器自增1
            }
        }
    }
    sort(fra, fra+mark, cmp);  // 对结构体数组按照res从小到大方式排序
    for (int i=0; i<mark; i++) {  // 依次输出mark-1（因为存完最后一个mark仍自增了1）个分子和分母
        cout << fra[i].a << "/" << fra[i].b << endl;
    }
    return 0;
}

【运行结果】

5
0/1
1/5
1/4
1/3
2/5
1/2
3/5
2/3
3/4
4/5
1/1