题解：洛谷 P1247 取火柴游戏

【题目来源】

【题目描述】

输入 \(k\) 及 \(k\) 个整数 \(n_1,n_2,⋯ ,n_k\)，表示有 \(k\) 堆火柴棒，第 \(i\) 堆火柴棒的根数为 \(n_i\)；接着便是你和计算机取火柴棒的对弈游戏。取的规则如下：每次可以从一堆中取走若干根火柴，也可以一堆全部取走，但不允许跨堆取，也不允许不取。

谁取走最后一根火柴为胜利者。

例如：\(k=2\)，\(n_1=n_2=2\)，A 代表你，P 代表计算机，若决定 A 先取：

A：\((2,2)→(1,2)\)，即从第一堆中取一根。
P：\((1,2)→(1,1)\)，即从第二堆中取一根。
A：\((1,1)→(1,0)\)。
P：\((1,0)→(0,0)\)。P 胜利。

如果决定 \(A\) 后取：

P：\((2,2)→(2,0)\)。
A：\((2,0)→(0,0)\)。A 胜利。

又如 \(k=3\)，\(n_1=1\)，\(n_2=2\)，\(n_3=3\)，\(A\) 决定后取：

P：\((1,2,3)→(0,2,3)\)。
A：\((0,2,3)→(0,2,2)\)。
A 已将游戏归结为 \((2,2)\) 的情况，不管 P 如何取 A 都必胜。

编一个程序，在给出初始状态之后，判断是先取必胜还是先取必败，如果是先取必胜，请输出第一次该如何取。如果是先取必败，则输出 lose。

【输入】

第一行，一个正整数 \(k\)。

第二行，\(k\) 个整数 \(n_1,n_2,⋯ ,n_k\)。

【输出】

如果是先取必胜，请在第一行输出两个整数 \(a,b\)，表示第一次从第 \(b\) 堆取出 \(a\) 个。第二行为第一次取火柴后的状态。如果有多种答案，则输出 \(⟨b,a⟩\) 字典序最小的答案（即 \(b\) 最小的前提下，使 \(a\) 最小）。

如果是先取必败，则输出 lose。

【输入样例】

3
3 6 9

【输出样例】

4 3
3 6 5

【核心思想】

问题分析：给定 \(k\) 堆火柴，每堆分别有 \(n_i\) 根。两名玩家轮流从某一堆中取走至少一根火柴，取走最后一根者获胜。需要判断先手是否必胜：若必败输出 lose；若必胜，输出字典序最小的第一步操作 \((b, a)\)（第 \(b\) 堆取走 \(a\) 根）以及操作后的状态。这是一个经典的 Nim 博弈 问题，胜负状态由所有堆大小的异或和决定。
算法选择：
- Nim 博弈定理（Bouton's Theorem）：设 \(s = n_1 \oplus n_2 \oplus \cdots \oplus n_k\)，若 \(s = 0\) 则先手必败，若 \(s \neq 0\) 则先手必胜。
- Sprague-Grundy 函数思想：每堆火柴等价为一个独立子游戏，其 Grundy 值即为该堆火柴数 \(n_i\)；整体游戏的 Grundy 值为各堆 Grundy 值的异或和。
- 构造必胜操作：找到一堆 \(i\)，使得 \((n_i \oplus s) < n_i\)，将该堆火柴数变为 \(n_i \oplus s\)，即可使新的异或和为 \(0\)。
关键步骤：
- 读取输入并计算异或和：读入 \(k\) 和数组 \(n[1..k]\)，计算 \(s = n_1 \oplus n_2 \oplus \cdots \oplus n_k\)。
- 判断胜负：
  - 若 \(s = 0\)，先手处于必败态，直接输出 lose。
  - 若 \(s \neq 0\)，先手存在必胜策略，继续构造第一步。
- 构造字典序最小的必胜操作：
  - 按堆号 \(i\) 从小到大遍历每堆火柴。
  - 对当前堆 \(i\)，计算 \(t = n_i \oplus s\)。
  - 若 \(t < n_i\)，说明可以从第 \(i\) 堆取走 \(a = n_i - t\) 根火柴，使该堆变为 \(t\)，且新的整体异或和为 \(0\)。
  - 由于按堆号从小到大扫描，第一个满足条件的 \(i\) 即为字典序最小的堆号 \(b\)；而 \(a\) 由 \(n_i\) 和 \(s\) 唯一确定，因此 \((b, a)\) 即为所求字典序最小解。
- 输出结果：第一行输出 \(a\) 和 \(b\)；第二行输出操作后的各堆火柴数状态。
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(k)\)，需要一次遍历计算异或和，一次遍历寻找必胜操作。
- 空间复杂度：\(O(k)\)，用于存储每堆火柴数。
博弈论/Nim 博弈的核心思想：
- 异或和判定胜负：Nim 博弈中，所有堆大小的异或和 \(s\) 是状态的完全不变量；\(s = 0\) 对应 P-position（必败态），\(s \neq 0\) 对应 N-position（必胜态）。
- 独立子游戏组合：多堆火柴可视为多个独立的一堆子游戏，整体 Grundy 值为各子游戏 Grundy 值的异或。
- 构造转移使异或和为 0：从必胜态出发，总存在某一堆 \(i\)，使得改变该堆大小后整体异或和变为 \(0\)，从而将对手逼入必败态。
- 最优策略的确定性：每次操作后都使对方面临异或和为 \(0\) 的状态，即可保证胜利。
- 适用于多堆取物博弈、组合游戏胜负判定及第一步构造类问题。

【算法标签】

普及+ #博弈论

【代码详解】

#include <cstdio>
using namespace std;

int k, a[500002];  // k: 石子堆数, a: 每堆石子数

int main()
{
    scanf("%d", &k);  // 输入石子堆数
    int s = 0;  // 异或和
    for (int i = 1; i <= k; i++)  // 输入每堆石子数并计算异或和
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        s ^= a[i];
    }

    if (!s)  // 如果异或和为0，先手必败
    {
        return puts("lose"), 0;  // 输出"lose"并结束
    }

    for (int i = 1; i <= k; i++)  // 找到必胜的一步
    {
        if ((a[i] ^ s) >= a[i])  // 如果操作后石子数增加或不变，跳过
        {
            continue;
        }
        printf("%d %d\n", (a[i] - (a[i] ^ s)), i);  // 输出取走的石子数和堆号
        a[i] = a[i] ^ s;  // 更新该堆石子数
        break;
    }

    for (int i = 1; i <= k; i++)  // 输出操作后的石子堆
    {
        printf("%d ", a[i]);
    }
    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-07-31 17:19 团爸讲算法阅读(1) 评论(0) 收藏举报

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