题解：洛谷 P1207 双重回文数

【题目来源】

洛谷：P1207 [USACO1.2] 双重回文数 Dual Palindromes - 洛谷

【题目描述】

如果一个数从左往右读和从右往左读都是一样，那么这个数就叫做“回文数”。例如，12321 就是一个回文数，而 77778 就不是。当然，回文数的首和尾都应是非零的，因此 0220 就不是回文数。

事实上，有一些数（如 21 ），在十进制时不是回文数，但在其它进制（如二进制时为 10101 ）时就是回文数。

给定两个十进制数 n,s，然后找出前 n 个满足大于 s 且在不少于两种进制（二进制至十进制）上是回文数的十进制数，输出到文件上。

本问题的解决方案不需要使用大于 32 位的整型数

【输入】

只有一行，用空格隔开的两个正整数 n,s。

【输出】

n 行，每行一个满足上述要求的数，并按从小到大的顺序输出。

【输入样例】

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【输出样例】

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【核心思想】

1. 问题分析：给定两个正整数 \(n\) 和 \(s\)，要求找出前 \(n\) 个大于 \(s\) 的十进制数，使得每个数在至少两种不同进制（二进制到十进制）下都是回文数，并按升序输出。这是 P1206「回文平方数」的扩展版，从单一进制的回文判断推广到多进制回文计数。

2. 算法选择：

   • 顺序枚举：从 \(s+1\) 开始逐个检查整数，天然保证输出结果有序
   • 进制转换：复用短除法模板，将十进制数 \(i\) 转换为 \(k\) 进制字符串
   • 回文判断：复用字符串对称比较，判断转换结果是否为回文
   • 计数统计：对每个整数，统计其在 \(2 \sim 10\) 进制中有多少种进制表示是回文
   • 提前终止：一旦某数已有 2 种回文进制即输出；收集到 \(n\) 个结果后整体结束

3. 关键步骤：

   • 读取输入：\(n\)（需要输出的个数）、\(s\)（下界）
   • 枚举候选数：\(i\) 从 \(s+1\) 开始递增
   • 重置计数器：\(mark1 = 0\)（当前数回文进制数）
   • 遍历进制（\(k\) 从 \(2\) 到 \(10\)）：
     • 将 \(i\) 转换为 \(k\) 进制字符串
     • 判断是否为回文
     • 若是，\(mark1++\)
     • 若 \(mark1 == 2\)，输出 \(i\)，总输出计数 \(mark2++\)，并跳出当前进制循环
   • 终止条件：若 \(mark2 == n\)，结束整个枚举

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \cdot 9 \cdot \log(\text{max\_value}))\)，其中 \(\text{max\_value}\) 为找到 \(n\) 个答案时扫描到的最大数值；由于满足双重回文的数出现较频繁，实际运行效率足以通过
   • 空间复杂度：\(O(\log(\text{max\_value}))\)，存储每次进制转换产生的字符串

5. 多进制回文计数的核心思想：

   • 模块化复用：进制转换与回文判断函数可直接从 P1206 复用，体现算法题的模板化思维
   • 从小到大枚举：从 \(s+1\) 开始递增遍历，天然保证输出结果按升序排列
   • 计数而非穷举所有进制：不需要检查完 9 种进制，只要累计到 2 种即可提前确认当前数有效
   • 双重终止策略：内层找到 2 种回文即 break，外层找到 \(n\) 个数即 break，避免无效计算
   • 适用于多进制判定、条件计数、按序输出满足某性质的数等问题

【解题思路】

【算法标签】

普及- #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, s, mark1, mark2=0;
string dtok(int t, int k)  // 十进制转k进制模板
{
    string ans = "";  // 定义空字符串
    while (t>0) {  // 使用数位拆分思路，当t不为0时
        int x = t % k;  // 除以k，得到k进制的余数
        if (x<10) ans = char(x+'0') + ans;  // 拼接到ans字符串的前面（注意不是追加到后面）
        else ans = char(x-10+'A') + ans;  // 对于大于10的，转为大写字母
        t = t / k;  // 更新t为整数部分
    }
    if (ans.empty()) ans = "0";  // 特判t为0时，直接返回0
    return ans;  // 返回拼接后的字符串
}

bool isPal(string s) {  // 回文字符串的判断
    for (int i=0; i<s.size(); i++) {  // 从头开始遍历
        if (s[i]!=s[s.size()-1-i]) {  // 逐位比较，如果遇到不相等的，就返回false
            return false;
        }
    }
    return true;  // 遍历完还没false的就返回true
}
int main()
{
    cin >> n >> s;  // 输入n和s
    for (int i=s+1; ; i++) {  // 从s+1开始遍历（注意不是s！！！）
        mark1=0;  // 每次开始mark1重置为0
        for (int k=2; k<=10; k++) {  // 从二进制遍历至十进制
            if (isPal(dtok(i, k))) {  // 如果进制转换后是回文串
                mark1++;  // mark1自增
            }
            if (mark1==2) {  // 当有两种满足
                cout << i << endl;  // 则输出
                mark2++;  // 并且mark2自增1
                break;  // 退出循环，使用下一个i
            }
        }
        if (mark2==n) break;  // 当输出了n行，则停止循环
    }
    return 0;
}

【运行结果】

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