题解：洛谷 P1206 回文平方数

【题目来源】

洛谷：P1206 [USACO1.2] 回文平方数 Palindromic Squares - 洛谷

【题目描述】

回文数是指从左向右念和从右向左念都一样的数。如 12321 就是一个典型的回文数。

给定一个用十进制表示的正整数 B，输出所有 [1,300] 中，它的平方用 B 进制表示时是回文数的数。

【输入】

共一行，一个单独的正整数 B。

【输出】

每行两个 B 进制的符合要求的数字，第二个数是第一个数的平方，且第二个数是回文数。

注意大于 9 的数，用字母表示。如用 A 表示 10，B 表示 11，用第 n 个大写字母表示 n+9。

【输入样例】

10

【输出样例】

1 1
2 4
3 9
11 121
22 484
26 676
101 10201
111 12321
121 14641
202 40804
212 44944
264 69696

【核心思想】

1. 问题分析：给定进制 \(B\)，要求找出所有 \([1,300]\) 范围内的整数 \(i\)，使得 \(i^2\) 在 \(B\) 进制表示下是回文数，并输出 \(i\) 和 \(i^2\) 的 \(B\) 进制形式。这是一个进制转换 + 回文判断 + 枚举模拟问题。

2. 算法选择：

   • 枚举：由于数据范围很小（\(1 \le i \le 300\)），直接枚举每个整数并验证
   • 进制转换：将十进制数转换为 \(B\) 进制字符串，用短除法取余，并用字母表示大于 9 的数字
   • 回文判断：将转换后的字符串与其反转比较，判断是否为回文
   • 模拟：对每个 \(i\)，模拟计算平方、转换进制、判断回文、输出的完整流程

3. 关键步骤：

   • 读取输入：进制 \(B\)
   • 枚举整数：\(i\) 从 \(1\) 到 \(300\)
   • 计算平方：\(t = i \times i\)
   • 进制转换：
     • 将 \(i\) 转换为 \(B\) 进制字符串 \(s1\)
     • 将 \(t\) 转换为 \(B\) 进制字符串 \(s2\)
     • 转换方法：不断对 \(B\) 取余，将余数映射为字符（\(0-9\) 用数字，\(10+\) 用大写字母）
   • 回文判断：检查 \(s2\) 是否等于其反转字符串
   • 输出结果：若 \(s2\) 是回文，输出 \(s1\) 和 \(s2\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(300 \cdot \log_B 90000)\)，由于数据范围固定，实际接近常数；若推广到 \(N\)，则为 \(O(N \log_B N)\)
   • 空间复杂度：\(O(\log_B N)\)，存储转换后的字符串

5. 进制转换 + 回文判断的核心思想：

   • 短除法转进制：通过不断除以 \(B\) 取余，得到低位到高位的数字，再逆序拼接成字符串
   • 字符映射规则：大于 9 的数字用大写字母表示（\(10 \to A\)，\(11 \to B\)，以此类推）
   • 回文对称性：回文串正读反读相同，只需比较首尾对称位置是否一致
   • 小范围直接枚举：利用题目中 \(300\) 的范围限制，暴力枚举即可通过
   • 适用于进制转换、数字回文、字符串对称性判断等问题

【解题思路】

【算法标签】

普及- #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int k, t;
string s1, s2;
string dtok(int t, int k)  // 十进制转k进制模板
{
    string ans = "";  // 定义空字符串
    while (t>0) {  // 使用数位拆分思路，当t不为0时
        int x = t % k;  // 除以k，得到k进制的余数
        if (x<10) ans = char(x+'0') + ans;  // 拼接到ans字符串的前面（注意不是追加到后面）
        else ans = char(x-10+'A') + ans;  // 对于大于10的，转为大写字母
        t = t / k;  // 更新t为整数部分
    }
    if (ans.empty()) ans = "0";  // 特判t为0时，直接返回0
    return ans;  // 返回拼接后的字符串
}

bool isPal(string s) {  // 回文字符串的判断
    for (int i=0; i<s.size(); i++) {  // 从头开始遍历
        if (s[i]!=s[s.size()-1-i]) { // 逐位比较，如果遇到不相等的，就返回false
            return false;
        }
    }
    return true;  // 遍历完还没false的就返回true
}
int main()
{
    cin >> k;  // 输入k（不用b是因为方便记忆十进制转k进制模板）
    for (int i=1; i<=300; i++) {  // 从1遍历至300
        t = i*i;  // 得到平方数
        s1 = dtok(i, k);  // 将i转为B进制
        s2 = dtok(t, k);  // 将平方数转为B进制
        if (isPal(s2)) {  // 判断平方数（字符串）是否为回文数（字符串）
            cout << s1 << " " << s2 << endl;  // 如果是，则打印B进制的i和平方数
        }
    }
    return 0;
}

【运行结果】

10
1 1
2 4
3 9
11 121
22 484
26 676
101 10201
111 12321
121 14641
202 40804
212 44944
264 69696