题解：洛谷 P1204 挤牛奶

【题目来源】

洛谷：P1204 [USACO1.2] 挤牛奶Milking Cows - 洛谷

【题目描述】

三个农民每天清晨 5 点起床，然后去牛棚给三头牛挤奶。

第一个农民在 300 秒（从 5 点开始计时）给他的牛挤奶，一直到 1000 秒。第二个农民在 700 秒开始，在 1200 秒结束。第三个农民在 1500 秒开始，2100 秒结束。

期间最长的至少有一个农民在挤奶的连续时间为 900 秒（从 300 秒到 1200 秒），而最长的无人挤奶的连续时间（从挤奶开始一直到挤奶结束）为 300 秒（从 1200 秒到 1500 秒）。

你的任务是编一个程序，读入一个有 n 个农民挤 n 头牛的工作时间列表，计算以下两点（均以秒为单位）:

最长至少有一人在挤奶的时间段。

最长的无人挤奶的时间段。（从有人挤奶开始算起）

【输入】

第一行一个正整数 n

接下来 n 行，每行两个非负整数 l,r，表示一个农民的开始时刻与结束时刻。

【输出】

一行，两个整数，即题目所要求的两个答案。

【输入样例】

3
300 1000
700 1200
1500 2100

【输出样例】

900 300

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 个农民挤奶的时间段 \([l_i, r_i]\)，要求找出两个值：一是至少有一人在挤奶的最长连续时间段，二是无人挤奶的最长连续时间段（在整体挤奶时间范围内）。这是一个经典的区间合并问题，关键在于将重叠或相邻的区间合并后统计连续段和间隔段。

2. 算法选择：

   • 按起点排序：将所有区间按开始时间从小到大排序，保证区间按时间顺序处理
   • 贪心合并：维护当前合并区间 \([start, last]\)，若下一个区间与当前区间重叠或相邻，则扩展当前区间
   • 统计间隔：若下一个区间与当前区间不重叠，则两者之间的空隙就是一个无人挤奶时间段
   • 边合并边更新：在遍历过程中同步更新最长有人挤奶段 \(t1\) 和最长无人挤奶段 \(t2\)

3. 关键步骤：

   • 读取输入：\(n\) 个区间 \([l_i, r_i]\)
   • 按开始时间排序：使用自定义比较函数按 \(a\) 升序排列
   • 初始化当前区间：\(start = f[1].a\)，\(last = f[1].b\)，\(t1 = last - start\)
   • 遍历合并（\(i\) 从 \(2\) 到 \(n\)）：
     • 重叠/相邻：若 \(f[i].a \le last\)，则 \(last = \max(last, f[i].b)\)，并更新 \(t1 = \max(t1, last - start)\)
     • 不重叠：若 \(f[i].a > last\)，则 \(t2 = \max(t2, f[i].a - last)\)，然后开启新区间 \(start = f[i].a\)，\(last = f[i].b\)
   • 输出结果：\(t1\) 和 \(t2\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \log n)\)，主要由排序决定，合并过程为 \(O(n)\)
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，存储 \(n\) 个区间

5. 区间合并的核心思想：

   • 排序保证顺序性：按开始时间排序后，所有区间按时间先后处理，避免遗漏或重复
   • 贪心维护当前段：只关心当前连续有人挤奶的区间 \([start, last]\)，遇到重叠就扩展，不重叠就结算
   • 连续与间隔的对偶性：合并后的连续段对应 \(t1\)，段与段之间的空隙对应 \(t2\)
   • 相邻即连续：当 \(f[i].a = last\) 时认为仍连续，符合"至少有一人在挤奶"的定义
   • 适用于区间覆盖、区间重叠、时间线段合并、日程安排等问题

【解题思路】

【算法标签】

普及- #其他排序

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, start, last, tmp;
int t1=0, t2=0;  // 设置t1为至少一人挤奶的时间段，t2位无人挤奶的时间段
struct farmer {
    int a, b;
}f[5005];
bool cmp (farmer x, farmer y)  // 定义排序方式
{
    return x.a < y.a;
}
int main()
{
    cin >> n;  // 输入n
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 输入n个农民的开始和结束时间
        cin >> f[i].a >> f[i].b;
    }
    sort(f+1, f+n+1, cmp);  // 按照开始时间从小到大方式排序
    start = f[1].a;  // 定义起始和结束时间
    last = f[1].b;
    t1 = last - start;  // 并计算t1
    for (int i=2; i<=n; i++) {  // 从第2人开始遍历
        if (f[i].a<=last) {  // 如果这人的开始时间小于等于结束时间
            last = max(f[i].b, last);  // 则更新结束时间，取最大值
            t1 = max(t1, last - start);  // 更新t1时间
        } else if (f[i].a>last) {  // 否则，说明开始时间大于结束时间
            t2 = max(t2, f[i].a - last);  // 更新t2
            start = f[i].a;  // 并更新开始和结束时间，后面要重新计算
            last = f[i].b;
        }
    }
    cout << t1 << " " << t2;  // 输出t1和t2
    return 0;
}

【运行结果】

3
300 1000
700 1200
1500 2100
900 300