题解：洛谷 AT_abc468_d Pre-Palindrome

【题目来源】

洛谷：AT_abc468_d [ABC468D] Pre-Palindrome

【题目描述】

如果一个仅由小写英文字母组成的字符串满足以下条件，则称其为好字符串：

只需将至多一个字符替换为任意字符，就可以使其变为回文串。

例如，a、iwai 和 abcdcza 都是好字符串，而 abcd 和 atcoder 不是好字符串。特别地，回文串本身也是好字符串。

给定一个由小写英文字母组成的字符串 \(S\)。

请计算 \(S\) 的非空子串（连续子序列）中，有多少个是好字符串。

来自 \(S\) 不同位置的两个子串，即使内容相同，也要分别计数。

什么是子串？
\(S\) 的子串是通过删除 \(S\) 开头的零个或多个字符和结尾的零个或多个字符得到的字符串。
例如，ab 是 abc 的子串，但 ac 不是 abc 的子串。

【输入】

输入从标准输入读取，格式如下：

\(S\)

【输出】

输出答案。

【输入样例】

ababa

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定字符串 \(S\)，求其中有多少个非空子串是"好字符串"——即通过修改最多一个字符可以变成回文串。回文串本身也是好字符串。这是一个中心扩展 + 不匹配计数问题，核心在于利用回文的对称性，从每个可能的中心向两边扩展并统计不匹配字符对数。
算法选择：
- 中心扩展法：枚举每个可能的回文中心（奇数长度为中心字符，偶数长度为中心缝隙），向两边扩展并统计不匹配数
- 提前终止：不匹配数超过 \(1\) 时立即停止扩展
关键步骤：
- 读入数据：读取字符串 \(S\)，长度 \(n\)
- 奇数长度子串（中心 \(mid\) 从 \(0\) 到 \(n-1\)）：
  - \(l = r = mid\)，\(mis = 0\)
  - \(ans \leftarrow ans + 1\)（长度为 \(1\) 总是好字符串）
  - 向两边扩展（\(l > 0\) 且 \(r < n-1\)）：
    - \(l \leftarrow l - 1\)，\(r \leftarrow r + 1\)
    - \(mis \leftarrow mis + [s[l] \neq s[r]]\)
    - 若 \(mis \leq 1\)：\(ans \leftarrow ans + 1\)
    - 否则 \(break\)
- 偶数长度子串（中心缝隙 \(mid\) 从 \(0\) 到 \(n-2\)）：
  - \(l = mid\)，\(r = mid + 1\)，\(mis = [s[l] \neq s[r]]\)
  - 若 \(mis \leq 1\)：\(ans \leftarrow ans + 1\)，然后向两边扩展（同奇数情况）
- 输出结果：\(ans\)
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(n^2)\)，最坏情况每个中心扩展 \(O(n)\)，共 \(2n\) 个中心
- 空间复杂度：\(O(1)\)，仅使用指针和计数器
中心扩展与提前终止的核心思想：
- 回文的对称性：从中心向两边扩展时，新加入的字符对 \((s[l], s[r])\) 若相同则不影响回文性，若不同则增加一次"修改需求"
- 修改次数的单调性：向两边扩展只会增加或保持不匹配数，不会减少。因此一旦 \(mis > 1\)，后续扩展必然不满足条件，可直接终止
- 两种中心类型：奇数长度子串有 \(n\) 个中心点，偶数长度子串有 \(n-1\) 个中心缝隙，覆盖所有可能的子串
- 计数策略：每个满足 \(mis \leq 1\) 的扩展状态对应一个好字符串子串，直接累加。由于不同位置的相同子串分别计数，无需去重
- 适用于回文相关子串统计、中心扩展类字符串问题

【算法标签】

普及 #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long    // 将int定义为long long，避免子串数量过多导致溢出
string s;               // 输入的字符串S
int ans;                // ans记录好字符串子串的总数

signed main()           // 使用signed main配合#define int long long
{
    cin >> s;           // 读入字符串S
    int n = s.size();   // n为字符串S的长度

    // 第一步：枚举奇数长度子串的中心点（中心为单个字符）
    for (int mid = 0; mid < n; mid++)  // 遍历每个可能的中心位置
    {
        int l = mid, r = mid;          // 初始化左右指针都指向中心点，形成长度为1的子串
        int mis = 0;                   // mis记录当前子串中不匹配的对称位置对数（即需要修改的字符数）
        ans++;                         // 长度为1的子串总是回文串（0次修改），一定是好字符串，直接计数
        while (l > 0 && r < n - 1)     // 向两边扩展，确保不越界
        {
            l--;                       // 左指针向左移动
            r++;                       // 右指针向右移动
            mis += (s[l] != s[r]);     // 如果新扩展的两端字符不同，不匹配数加1
            if (mis <= 1)              // 如果不匹配数不超过1（最多修改1个字符可变成回文）
                ans++;                 // 该子串是好字符串，计数加1
            else                       // 如果不匹配数超过1
                break;                 // 继续扩展只会增加不匹配数，直接退出
        }
    }

    // 第二步：枚举偶数长度子串的中心点（中心为两个相邻字符之间）
    for (int mid = 0; mid < n - 1; mid++)  // 遍历每对相邻字符作为中心
    {
        int l = mid, r = mid + 1;      // 初始化左右指针指向相邻的两个字符，形成长度为2的子串
        int mis = (s[l] != s[r]);      // 初始不匹配数为中间两个字符是否相同（0或1）
        if (mis <= 1)                  // 如果长度为2的子串最多需要修改1个字符
        {
            ans++;                     // 该长度为2的子串是好字符串，计数加1
            while (l > 0 && r < n - 1) // 向两边扩展，确保不越界
            {
                l--;                   // 左指针向左移动
                r++;                   // 右指针向右移动
                mis += (s[l] != s[r]); // 如果新扩展的两端字符不同，不匹配数加1
                if (mis <= 1)          // 如果不匹配数不超过1
                    ans++;             // 该子串是好字符串，计数加1
                else                   // 如果不匹配数超过1
                    break;             // 继续扩展只会增加不匹配数，直接退出
            }
        }
    }

    cout << ans << endl;               // 输出好字符串子串的总数

    return 0;
}

【运行结果】

ababa
13

posted @ 2026-07-28 20:19 团爸讲算法阅读(11) 评论(0) 收藏举报

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