题解：洛谷 AT_abc468_a Maximal Value

【题目来源】

洛谷：AT_abc468_a [ABC468A] Maximal Value

【题目描述】

给定一个长度为 \(N\) 的整数序列 \(A = (A_1, A_2, \ldots, A_N)\)。

请计算有多少个整数 \(i\) 满足 \(1 \le i \le N-2\)，并且 \(A_i < A_{i+1} > A_{i+2}\)。

【输入】

输入从标准输入读入，格式如下：

\(N\ A_1\ A_2\ \ldots\ A_N\)

【输出】

输出满足条件的 \(i\) 的个数。

【输入样例】

6
3 1 4 1 5 2

【输出样例】

2

【核心思想】

1. 问题分析：给定长度为 \(N\) 的序列 \(A\)，统计满足 \(A_i < A_{i+1} > A_{i+2}\) 的索引 \(i\)（\(1 \leq i \leq N-2\)）的个数。这是一个线性扫描 + 局部峰值判定问题，核心在于识别序列中"先升后降"的局部极大值位置。

2. 算法选择：

   • 线性扫描：遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \(N-2\)，直接检查三元组 \((A_i, A_{i+1}, A_{i+2})\) 是否满足 \(A_i < A_{i+1} > A_{i+2}\)

3. 关键步骤：

   • 读入数据：读取 \(N\) 和数组 \(A[1..N]\)
   • 遍历判定（\(i\) 从 \(1\) 到 \(N-2\)）：
     • 若 \(A_i < A_{i+1}\) 且 \(A_{i+1} > A_{i+2}\)：\(ans \leftarrow ans + 1\)
   • 输出结果：\(ans\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N)\)，单次线性遍历
   • 空间复杂度：\(O(N)\)，存储数组（可优化为 \(O(1)\) 滚动变量）

5. 局部峰值判定的核心思想：

   • 三元组模式识别：\(A_i < A_{i+1} > A_{i+2}\) 描述了一个"先升后降"的局部极大值（峰）。遍历每个可能的起始索引 \(i\)，检查中间元素 \(A_{i+1}\) 是否同时严格大于左右邻居
   • 严格不等式约束：题目使用严格小于和严格大于，因此相等的情况不计入。代码中的 > 和 < 已满足严格性
   • 边界处理：\(i\) 的范围为 \(1 \leq i \leq N-2\)，确保 \(A_{i+2}\) 不越界。循环从 \(i=1\) 到 \(i=N-2\) 即可覆盖所有合法三元组
   • 在线处理可能性：由于每次只用到当前三元组，可以用三个变量滚动存储，将空间优化到 \(O(1)\)
   • 适用于基础序列模式识别、局部特征统计类入门问题

【算法标签】

入门 #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 105;  // 定义数组最大容量为105，满足N的数据范围
int n, ans;         // n为序列长度，ans记录满足条件的"峰"的个数
int a[N];           // a数组存储长度为N的整数序列

int main()
{
    cin >> n;       // 读入序列长度N
    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 读入N个整数
        cin >> a[i];
    for (int i = 2; i < n; i++)  // 遍历序列中每个可能作为"峰"的位置（第2个到第n-1个元素）
        if (a[i] > a[i - 1] && a[i] > a[i + 1])  // 判断当前元素是否同时大于左右相邻元素（严格大于左边且严格大于右边）
            ans++;      // 找到一个满足A_{i-1} < A_i > A_{i+1}的"峰"，计数加1
    cout << ans << endl;  // 输出满足条件的整数i的个数
    return 0;
}

【运行结果】

6
3 1 4 1 5 2
2