题解：洛谷 B3959 做题

【题目来源】

洛谷：B3959 [GESP202403 四级] 做题 - 洛谷

【题目描述】

小杨同学为了提高自己的实力制定了做题计划，在第 天时，他必须要完成 道题，否则他就会偷懒。

小杨同学现在找到了一个题库，一共有 \(n\) 套题单，每一套题单中有一定数量的题目。但是他十分挑剔，每套题单他只会使用一次，每一天也只能使用一套题单里的题目，之后那套题单就会被弃之不用。对于每套题单，他不必完成 题单内所有的题。

那么问题来了，小杨同学最多会做题几天才偷懒呢？

【输入】

第一行，\(1\) 个数为 \(n\)，表示有多少套题单。

第二行，\(n\) 个整数 \(a_1,a_2,\dots, a_n\)，分别表示每套题单有多少道题。

【输出】

输出一行，小杨同学偷懒前最多做题天数。

【输入样例】

4
3 1 4 1

【输出样例】

3

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 套题单，每套题单有 \(a_i\) 道题。第 \(k\) 天需要完成至少 \(k\) 道题，每套题单只能用一次，每天只能用一套题单。求最多能做多少天。这是一个贪心匹配问题，核心在于将题单按题目数量排序后，逐天匹配满足当天需求的最小题单。

2. 算法选择：

   • 排序 + 贪心匹配：将题单按题目数量升序排序，第 \(k\) 天选择剩余题单中满足 \(a_j \geq k\) 的最小题单
   • 双指针优化：维护指针 \(start\) 避免重复搜索，实现 \(O(n)\) 的匹配过程

3. 关键步骤：

   • 读入数据：读取 \(n\) 和数组 \(a[1..n]\)
   • 排序：\(sort(a+1, a+n+1)\) 升序排列
   • 贪心匹配：
     • \(start \leftarrow 1\)，\(ans \leftarrow 0\)
     • 外层枚举天数 \(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)：
       • 内层从 \(start\) 开始查找第一个满足 \(a_j \geq i\) 的题单
       • 若找到：\(ans \leftarrow i\)，\(start \leftarrow j + 1\)，\(break\)
     • 若找不到则后续天数也无法满足，循环自然结束
   • 输出结果：\(ans\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \log n)\)，排序主导
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，存储数组

5. 贪心匹配与双指针的核心思想：

   • 排序后的单调性：升序排序后，若 \(a_j \geq i\) 则所有 \(a_{j'} \geq a_j\) 也满足。每天选择满足条件的最小题单，保留大题单给后续天数，这是最优策略
   • 双指针的线性扫描：\(start\) 指针确保每套题单最多被考虑一次，将内层查找的均摊复杂度降至 \(O(1)\)，整体匹配过程为 \(O(n)\)
   • 贪心正确性证明：假设第 \(k\) 天选择了题单 \(j\)（满足 \(a_j \geq k\) 的最小值），若某天选择更大的题单，则可能导致后续天数无法满足。选择最小可行题单是最优的
   • 终止条件：当某天找不到满足 \(a_j \geq i\) 的题单时，由于后续天数要求更高（\(i+1, i+2, \ldots\)），必然也无法满足，直接结束
   • 适用于资源分配、逐日需求匹配类贪心问题

【算法标签】

普及- #贪心

【解题思路】

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>  // 包含所有标准库头文件
using namespace std;

long long a[1000005];  // 定义全局数组存储数据

int main() {
    int n;
    cin >> n;  // 输入数据数量

    // 读取n个数据
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }

    sort(a + 1, a + n + 1);  // 对数组进行升序排序

    int start = 1;  // 搜索起始位置
    int ans = 0;    // 最终答案

    // 计算最大满足天数
    for (int i = 1; i <= n; i++) {  // i表示当前检查的天数
        for (int j = start; j <= n; j++) {  // 从start开始查找
            if (i <= a[j]) {  // 找到第一个满足a[j]≥i的位置
                ans = i;      // 更新最大天数
                start = j + 1; // 下次从下一个位置开始查找
                break;        // 跳出内层循环
            }
        }
    }

    cout << ans;  // 输出结果
    return 0;
}

【运行结果】

4
3 1 4 1
3