题解：洛谷 P10720 小杨的幸运数字

【题目来源】

洛谷：P10720 [GESP202406 五级] 小杨的幸运数字 - 洛谷

【题目描述】

小杨认为他的幸运数字应该恰好有两种不同的质因子，例如，\(12=2×2×3\) 的质因子有 \(2,3\)，恰好为两种不同的质因子，因此 \(12\) 是幸运数字，而 \(30\) 的质因子有 \(2,3,5\)，不符合要求，不为幸运数字。

小杨现在有 \(n\) 个正整数，他想知道每个正整数是否是他的幸运数字。

【输入】

第一行包含一个正整数\(n\) ，代表正整数个数。

之后 \(n\) 行，每行一个正整数。

【输出】

输出 \(n\) 行，对于每个正整数，如果是幸运数字，输出 \(1\) ，否则输出 \(0\)。

【输入样例】

3
7
12
30

【输出样例】

0
1
0

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 个正整数，判断每个数是否恰好有两个不同的质因子。这是一个质因数分解 + 集合去重问题，核心在于对每个数进行质因数分解并统计不同质因子的个数。

2. 算法选择：

   • 试除法分解质因数：从 \(2\) 到 \(\sqrt{x}\) 枚举因子，分解并记录不同质因子
   • 集合去重：使用 set 自动去重，统计不同质因子的数量

3. 关键步骤：

   • 读入数据：读取 \(n\)
   • 逐数判定（对每个数 \(num\)）：
     • \(calc(num)\)：分解质因数
       • 枚举 \(i\) 从 \(2\) 到 \(\sqrt{x}\)：
         • 若 \(x \bmod i = 0\)：将 \(i\) 插入集合，然后不断除以 \(i\) 直到不能整除
       • 若 \(x > 1\)：将剩余的 \(x\) 插入集合（大质因子）
       • 返回集合大小
     • 若 \(calc(num) = 2\)：输出 1
     • 否则：输出 0

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \cdot \sqrt{V})\)，其中 \(V\) 为输入数的最大值
   • 空间复杂度：\(O(\log V)\)，存储质因子的集合

5. 质因数分解与集合去重的核心思想：

   • 试除法的效率：只需枚举到 \(\sqrt{x}\)，若 \(x\) 有大于 \(\sqrt{x}\) 的质因子，则最多只有一个，最后单独判断
   • 集合自动去重：set 容器自动处理重复质因子（如 \(12 = 2^2 \times 3\) 中 \(2\) 只计一次），无需手动判断
   • 完全分解的必要性：遇到因子 \(i\) 时必须将所有 \(i\) 的幂次除尽，避免将同一质因子重复计入
   • 边界情况：质数（如 \(7\)）只有一个质因子，输出 \(0\)；\(1\) 没有质因子，输出 \(0\)；恰好两个不同质因子的数（如 \(12 = 2^2 \times 3\)）输出 \(1\)
   • 适用于基础数论分解、质因子统计类入门问题

【算法标签】

普及- #约数

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 计算一个数的不同质因数个数
int calc(int x) {
    set<int> prime_factors;  // 使用集合存储不同的质因数

    // 分解质因数
    for (int i = 2; i * i <= x; i++) {
        if (x % i == 0) {
            prime_factors.insert(i);  // 插入质因数
            while (x % i == 0) {
                x /= i;  // 除去所有该因数
            }
        }
    }

    // 处理剩余的大于1的质因数
    if (x > 1) {
        prime_factors.insert(x);
    }

    return prime_factors.size();  // 返回不同质因数的个数
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;  // 输入数字个数

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int num;
        cin >> num;  // 输入每个数字

        // 计算并判断质因数个数是否为2
        if (calc(num) == 2) {
            cout << "1\n";  // 恰好两个不同质因数
        } else {
            cout << "0\n";  // 其他情况
        }
    }

    return 0;
}

【运行结果】

3
7
0
12
1
30
0