题解：洛谷 P11246 小杨和整数拆分

【题目来源】

洛谷：P11246 [GESP202409 六级] 小杨和整数拆分 - 洛谷

【题目描述】

小杨有一个正整数\(n\)，小杨想将它拆分成若干完全平方数的和，同时小杨希望拆分的数量越少越好。

小杨请你编写程序计算出总和为\(n\) 的完全平方数的最少数量。

【输入】

第一行包含一个正整数\(n\)，含义如题面所示。

【输出】

输出一个整数，代表总和为\(n\) 的完全平方数的最少数量。

【输入样例】

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【输出样例】

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【核心思想】

1. 问题分析：给定正整数 \(n\)，将其拆分为若干完全平方数之和，求最少拆分数量。这是一个完全背包动态规划问题，核心在于将问题转化为：用面值为 \(1^2, 2^2, 3^2, \ldots\) 的"硬币"凑成金额 \(n\)，求最少硬币数。

2. 算法选择：

   • 一维线性 DP：设 \(dp[i]\) 表示总和为 \(i\) 的完全平方数的最少数量
   • 完全背包转移：\(dp[i] = \min_{j^2 \leq i}(dp[i - j^2] + 1)\)

3. 关键步骤：

   • 初始化：\(dp[0] = 0\)，\(dp[i] = i\)（最坏情况用 \(i\) 个 \(1^2\)）
   • DP 计算（\(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)）：
     • \(dp[i] \leftarrow i\)（初始化为最坏情况）
     • 枚举 \(j\) 从 \(1\) 到 \(\lfloor \sqrt{i} \rfloor\)：
       • \(dp[i] \leftarrow \min(dp[i], dp[i - j^2] + 1)\)
   • 输出结果：\(dp[n]\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \cdot \sqrt{n})\)，外层 \(n\)，内层 \(\sqrt{n}\)
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，一维 \(dp\) 数组

5. 完全背包 DP 的核心思想：

   • 状态定义：\(dp[i]\) 表示组成和为 \(i\) 所需的最少完全平方数个数，具有最优子结构——\(dp[i]\) 可由更小的 \(dp[i - j^2]\) 推导而来
   • 完全物品特性：每个完全平方数 \(j^2\) 可以使用无限次，因此只需从小到大枚举 \(i\)，每次考虑所有可能的 \(j^2 \leq i\)
   • 初始化的边界意义：\(dp[i] = i\) 对应全部用 \(1^2\) 组成，这是上界保证，确保 \(\min\) 操作有合法初值
   • 数学背景：该问题与拉格朗日四平方和定理相关——任何正整数可表示为不超过 \(4\) 个完全平方数之和，因此答案范围很小（\(1\)-\(4\)），但 DP 方法通用且易于理解
   • 适用于无限选取、求最少数量的组合优化类 DP 问题

【算法标签】

普及- #线性DP-一维

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5+5;  // 定义最大范围
int n;  // 输入的数字
int dp[N];  // dp数组

int main()
{
    cin >> n;  // 输入n

    // 动态规划计算
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i] = i;  // 初始值：最坏情况，全部用1^2表示
        for (int j = 1; j <= sqrt(i); j++) {  // j从1到√i
            dp[i] = min(dp[i - j*j] + 1, dp[i]);
        }
    }

    cout << dp[n];  // 输出结果
    return 0;
}

【运行结果】

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