题解：洛谷 B4361 排序

【题目来源】

洛谷：B4361 [GESP202506 四级] 排序 - 洛谷

【题目描述】

体育课上有 \(n\) 名同学排成一队，从前往后数第 \(i\) 位同学的身高为 \(h_i\)，体重为 \(w_i\)。目前排成的队伍看起来参差不齐，老师希望同学们能按照身高从高到低的顺序排队，如果身高相同则按照体重从重到轻排序。在调整队伍时，每次只能交换相邻两位同学的位置。老师想知道，最少需要多少次交换操作，才能将队伍调整成目标顺序。

【输入】

第一行，一个正整数 \(n\)，表示队伍人数。

接下来 \(n\) 行，每行两个正整数 \(h_i\) 和 \(w_i\)，分别表示第 \(i\) 位同学的身高和体重。

【输出】

输出一行，一个整数，表示最少需要的交换次数。

【输入样例】

5
1 60
3 70
2 80
4 55
4 50

【输出样例】

8

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 名同学的身高 \(h_i\) 和体重 \(w_i\)，需要按身高从高到低、身高相同则体重从重到轻排序。每次只能交换相邻两位同学，求最少交换次数。这是一个逆序对计数问题，核心在于理解相邻交换的最少次数等于序列的逆序对数量。

2. 算法选择：

   • 冒泡排序模拟：通过冒泡排序过程统计交换次数，每次相邻交换消除一个逆序对
   • 自定义比较器：先按身高降序，身高相同按体重降序

3. 关键步骤：

   • 读入数据：读取 \(n\) 和数组 \(a[1..n]\)（每个元素包含 \(h\) 和 \(w\)）
   • 冒泡排序统计交换次数：
     • 外层循环 \(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)
     • 内层循环 \(j\) 从 \(1\) 到 \(n-i\)：
       • 若 \(a[j].h < a[j+1].h\)：交换并 \(cnt \leftarrow cnt + 1\)
       • 否则若 \(a[j].h = a[j+1].h\) 且 \(a[j].w < a[j+1].w\)：交换并 \(cnt \leftarrow cnt + 1\)
   • 输出结果：\(cnt\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n^2)\)，冒泡排序的双重循环
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，存储结构体数组

5. 逆序对与相邻交换的核心思想：

   • 逆序对的定义：对于排序目标（身高降序、体重降序），若 \(i < j\) 但 \(a_i\) 应在 \(a_j\) 之后，则 \((i,j)\) 构成一个逆序对。每个逆序对至少需要一次相邻交换才能消除
   • 冒泡排序的最优性：冒泡排序每次相邻交换恰好消除一个逆序对，因此交换次数等于逆序对总数，这是最少交换次数
   • 双重关键字排序：先比较身高（主关键字），身高相同再比较体重（次关键字），确保排序结果符合题目要求
   • 算法优化空间：\(n\) 较大时，冒泡排序的 \(O(n^2)\) 效率较低，可使用归并排序或树状数组在 \(O(n \log n)\) 时间内统计逆序对
   • 适用于相邻交换排序、逆序对统计类基础问题

【算法标签】

普及- #其他排序

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 3005;  // 定义最大数据量

// 定义结构体存储高度和宽度
struct Node
{
    int h;  // 高度
    int w;  // 宽度
} a[N];    // 结构体数组

int n;     // 物品数量
int cnt = 0; // 交换次数计数器

int main()
{
    // 输入物品数量
    cin >> n;

    // 输入每个物品的高度和宽度
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i].h >> a[i].w;

    // 冒泡排序过程
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        // 内层循环，每次减少比较范围
        for (int j = 1; j <= n - i; j++)
        {
            // 如果前一个物品高度小于后一个，交换并计数
            if (a[j].h < a[j + 1].h)
            {
                swap(a[j], a[j + 1]);
                cnt++;
            }
            // 高度相等时，比较宽度
            else if (a[j].h == a[j + 1].h && a[j].w < a[j + 1].w)
            {
                swap(a[j], a[j + 1]);
                cnt++;
            }
        }
    }

    // 输出总交换次数
    cout << cnt << endl;

    return 0;
}

【运行结果】

5
1 60
3 70
2 80
4 55
4 50
8c