题解：洛谷 B4359 分糖果

【题目来源】

洛谷：B4359 [GESP202506 三级] 分糖果 - 洛谷

【题目描述】

有 \(n\) 位小朋友排成一队等待老师分糖果。第 \(i\) 位小朋友想要至少 \(a_i\) 颗糖果，并且分给他的糖果数量必须比分给前一位小朋友的糖果数量更多，不然他就会不开心。

老师想知道至少需要准备多少颗糖果才能让所有小朋友都开心。你能帮帮老师吗？

【输入】

第一行，一个正整数 \(n\)，表示小朋友的人数。

第二行，\(n\) 个正整数 \(a_1,a_2,…,a_n\)，依次表示每位小朋友至少需要的糖果数量。

【输出】

输出一行，一个整数，表示最少需要准备的糖果数量。

【输入样例】

4
1 4 3 3

【输出样例】

16

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 位小朋友，第 \(i\) 位至少需要 \(a_i\) 颗糖果，且每位小朋友分得的糖果必须严格多于前一位。求最少需要准备的总糖果数。这是一个贪心策略问题，核心在于在满足单调递增约束的前提下，让每个小朋友分得尽可能少的糖果。

2. 算法选择：

   • 贪心构造：从左到右遍历，每位小朋友的糖果数取 \(a_i\) 和 \(s_{i-1} + 1\) 的最大值，确保既满足最低需求又满足严格递增

3. 关键步骤：

   • 读入数据：读取 \(n\) 和数组 \(a[1..n]\)
   • 贪心构造（\(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)）：
     • \(s_i \leftarrow \max(a_i, s_{i-1} + 1)\)
     • 解释：\(s_i\) 至少为 \(a_i\)（满足最低需求），且至少为 \(s_{i-1} + 1\)（满足严格多于前一位）
   • 累加求和：\(ans \leftarrow \sum_{i=1}^{n} s_i\)
   • 输出结果：\(ans\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n)\)，单次线性遍历
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，存储 \(s\) 数组（可优化为 \(O(1)\) 滚动变量）

5. 贪心策略的核心思想：

   • 局部最优保证全局最优：对于第 \(i\) 位小朋友，在满足所有约束条件下取最小值，即 \(\max(a_i, s_{i-1} + 1)\)。这个局部最优选择不会影响后续的选择（因为后续只需满足 \(> s_i\)），因此贪心策略正确
   • 单调递增的最低成本：严格递增序列的最低成本构造方式是每次只比前一位多 \(1\)，即 \(s_i = s_{i-1} + 1\)。但当 \(a_i\) 更大时，必须以 \(a_i\) 为下限
   • 前缀依赖：第 \(i\) 位的最优解只依赖于前一位的值，具有无后效性，适合从左到右的贪心处理
   • 空间优化：实际上只需维护前一个 \(s_{i-1}\) 的值，无需完整数组，可优化为 \(O(1)\) 空间
   • 适用于带约束的单调序列构造、最小成本满足条件类贪心问题

【算法标签】

普及- #贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long  // 定义int为long long类型
const int N = 1005;    // 定义数组最大长度

int n;                 // 输入的数字个数
int a[N];              // 存储原始数字数组
int s[N];              // 存储处理后的数字数组
int ans = 0;           // 存储最终结果

signed main()
{
    // 输入数字个数
    cin >> n;

    // 输入n个数字
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];

    // 处理数组，确保s[i]至少比前一个大1
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        s[i] = max(a[i], s[i - 1] + 1);

    // 计算处理后数组的总和
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        ans += s[i];
    }

    // 输出最终结果
    cout << ans << endl;

    return 0;
}

【运行结果】

4
1 4 3 3
16