题解：洛谷 B4356 数三角形

【题目来源】

洛谷：B4356 [GESP202506 二级] 数三角形 - 洛谷

【题目描述】

直角三角形有两条直角边与一条斜边，设两条直角边的长度分别为 \(a,b\)，则直角三角形的面积为 \(\frac{ab}{2}\)。

请你计算当直角边长 \(a,b\) 均取不超过 \(n\) 的正整数时，有多少个不同的面积为整数的直角三角形。直角边长分别为 \(a,b\) 和 \(a',b'\) 的两个直角三角形相同，当且仅当 \(a=a', b=b'\) 或者 \(a=b', b=a'\)。

【输入】

一行，一个整数 \(n\)，表示直角边长的最大值。

【输出】

输出一行，一个整数，表示不同的直角三角形数量。

【输入样例】

3

【输出样例】

3

【核心思想】

1. 问题分析：给定上限 \(n\)，求直角边长 \(a, b \in [1, n]\) 的不同直角三角形中面积为整数的个数。面积为 \(\frac{ab}{2}\)，要求为整数即 \(ab\) 为偶数。由于 \((a,b)\) 和 \((b,a)\) 视为相同三角形，需避免重复计数。这是一个枚举 + 奇偶性判定问题，核心在于利用面积公式简化条件并控制枚举顺序去重。

2. 算法选择：

   • 有序枚举去重：令 \(b\) 从 \(a\) 开始枚举，确保 \(a \leq b\)，避免 \((a,b)\) 和 \((b,a)\) 重复
   • 奇偶性判定：\(ab \bmod 2 = 0\) 时面积为整数

3. 关键步骤：

   • 读入数据：读取 \(n\)
   • 有序枚举（\(a\) 从 \(1\) 到 \(n\)，\(b\) 从 \(a\) 到 \(n\)）：
     • 若 \(a \times b \bmod 2 = 0\)：\(cnt \leftarrow cnt + 1\)
   • 输出结果：\(cnt\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n^2)\)，枚举所有满足 \(1 \leq a \leq b \leq n\) 的数对
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅使用计数器

5. 枚举去重与奇偶性分析的核心思想：

   • 面积整数条件转化：\(\frac{ab}{2} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow ab \equiv 0 \pmod{2}\)，即 \(a\) 和 \(b\) 中至少有一个为偶数，将几何问题转化为数论问题
   • 有序枚举去重：通过约束 \(a \leq b\)，每个无序对 \(\{a,b\}\) 只被计数一次，避免 \((2,3)\) 和 \((3,2)\) 的重复。若使用 \(b\) 从 \(1\) 到 \(n\) 枚举，会导致重复计数
   • 乘法奇偶性：两数乘积为偶数当且仅当至少一数为偶数，因此只需检查 \(ab \bmod 2\) 即可，无需分别判断 \(a\) 和 \(b\) 的奇偶性
   • 适用于组合计数、有序枚举去重类基础问题

【算法标签】

入门 #语法基础

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int n;      // 输入的上限值
    int cnt = 0; // 计数器，统计满足条件的数对个数

    cin >> n;   // 输入正整数n

    // 外层循环：遍历所有可能的a值（1到n）
    for (int a = 1; a <= n; a++)
    {
        // 内层循环：遍历所有可能的b值（a到n）
        for (int b = a; b <= n; b++)
        {
            // 检查a和b的乘积是否为偶数
            if (a * b % 2 == 0)
                cnt++;  // 满足条件则计数器加1
        }
    }

    // 输出满足条件的数对总数
    cout << cnt << endl;

    return 0;
}

【运行结果】

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