题解：洛谷 B4257 图书馆里的老鼠

【题目来源】

洛谷：B4257 [GESP202503 一级] 图书馆里的老鼠 - 洛谷（luogu.com.cn)

【题目描述】

图书馆里有 \(n\) 本书，不幸的是，还混入了一只老鼠，老鼠每 \(x\) 小时能啃光一本书，假设老鼠在啃光一本书之前，不会啃另一本。请问 \(y\) 小时后图书馆里还剩下多少本完整的书。

【输入】

三行，第一行一个正整数 \(n\)，表示图书馆里书的数量；

第二行，一个正整数 \(x\)，表示老鼠啃光一本书需要的时间；

第三行，一个正整数 \(y\)，表示经过的总时间；

输入数据保证 \(y\) 小时后至少会剩下一本完整的书。

【输出】

一行，一个整数，表示 \(y\) 小时后图书馆里还剩下多少本完整的书。

【输入样例】

10
2
3

【输出样例】

8

【核心思想】

1. 问题分析：图书馆有 \(n\) 本书，老鼠每 \(x\) 小时啃光一本书，\(y\) 小时后求剩余完整书的数量。这是一个整数除法与余数问题，核心在于计算 \(y\) 小时内老鼠能完整啃完多少本书。

2. 算法选择：

   • 整数除法：\(y / x\) 得到完整啃完的书数，余数判断是否有正在啃的书

3. 关键步骤：

   • 读入数据：读取 \(n, x, y\)
   • 计算被啃书数：
     • 若 \(y \bmod x = 0\)：老鼠刚好啃完 \(y/x\) 本书，正在啃第 \(y/x + 1\) 本但尚未啃完，剩余 \(n - y/x\)
     • 若 \(y \bmod x \neq 0\)：老鼠正在啃第 \(\lfloor y/x \rfloor + 1\) 本书且已啃了一部分，这本书不完整，剩余 \(n - \lfloor y/x \rfloor - 1\)
   • 输出结果：剩余书数

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(1)\)
   • 空间复杂度：\(O(1)\)

5. 整数除法的核心思想：

   • 完整周期与余数分析：\(y\) 小时内包含 \(\lfloor y/x \rfloor\) 个完整的 \(x\) 小时周期，老鼠能完整啃完 \(\lfloor y/x \rfloor\) 本书。余数 \(y \bmod x\) 决定当前是否正在啃下一本书
   • 边界条件处理：当 \(y\) 恰好是 \(x\) 的倍数时，老鼠刚好完成一本书的啃食，即将开始下一本但尚未动手，因此这本不算被啃；有余数时，当前这本正在被啃，不算完整
   • 题目保证的简化：题目保证至少剩一本书，无需处理 \(n\) 不足的特殊情况
   • 适用于周期事件计数、整数除法取整类基础问题

【算法标签】

入门 #数学

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, x, y;  // n: 总数，x: 每个单位的大小，y: 目标总量

int main() {
    cin >> n >> x >> y;  // 输入n, x, y

    if (y % x == 0) {  // 如果y能被x整除
        cout << n - y / x << endl;  // 输出剩余的数量
    } else {  // 如果y不能被x整除
        cout << n - y / x - 1 << endl;  // 输出剩余的数量减1
    }

    return 0;
}

【运行结果】

10
2
3
8