题解：洛谷 P13013 奖品兑换

【题目来源】

洛谷：P13013 [GESP202506 五级] 奖品兑换 - 洛谷

【题目描述】

班主任给上课专心听讲、认真完成作业的同学们分别发放了若干张课堂优秀券和作业优秀券。同学们可以使用这两种券找班主任兑换奖品。具体来说，可以使用 \(a\) 张课堂优秀券和 \(b\) 张作业优秀券兑换一份奖品，或者使用 \(b\) 张课堂优秀券和 \(a\) 张作业优秀券兑换一份奖品。

现在小 A 有 \(n\) 张课堂优秀券和 \(m\) 张作业优秀券，他最多能兑换多少份奖品呢？

【输入】

第一行，两个正整数 \(n,m\)，分别表示小 A 持有的课堂优秀券和作业优秀券的数量。

第二行，两个正整数 \(a,b\)，表示兑换一份奖品所需的两种券的数量。

【输出】

输出共一行，一个整数，表示最多能兑换的奖品份数。

【输入样例】

8 8
2 1

【输出样例】

5

【核心思想】

1. 问题分析：给定课堂优秀券 \(n\) 张、作业优秀券 \(m\) 张，兑换一份奖品需要 \((a, b)\) 或 \((b, a)\) 的组合。求最多能兑换的奖品份数。这是一个整数二分 + 可行性判定问题，核心在于对答案进行二分，并验证给定兑换数量是否可行。

2. 算法选择：

   • 整数二分：在 \([0, \min(n,m)]\) 范围内二分答案，寻找最大可行的兑换数量
   • 贪心调整策略：假设兑换 \(mid\) 份，优先按 \((a, b)\) 方式分配，若资源不足则通过交换调整为 \((b, a)\) 方式

3. 关键步骤：

   • 预处理：确保 \(n \geq m\) 且 \(a \geq b\)（通过 \(swap\) 统一处理）
   • 二分答案（\(l = 0, r = m\)）：
     • \(mid = (l + r) / 2\)
     • 若 \(check(mid)\) 可行：\(ans \leftarrow mid, l \leftarrow mid + 1\)
     • 否则：\(r \leftarrow mid - 1\)
   • 可行性判定 \(check(mid)\)：
     • 假设全部按 \((a, b)\) 分配：\(x = a \cdot mid, y = b \cdot mid\)
     • 若 \(x > n\)（第一种资源不足）：需要将部分兑换从 \((a, b)\) 改为 \((b, a)\)，每次调整减少 \(a-b\) 的第一种资源、增加 \(a-b\) 的第二种资源
     • 调整次数 \(k = \lceil (x - n) / (a - b) \rceil\)，更新 \(x \leftarrow x - k(a-b), y \leftarrow y + k(a-b)\)
     • 返回 \(x \leq n\) 且 \(y \leq m\)
   • 输出结果：\(ans\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(\log(\min(n,m)))\)，二分次数为对数级别，每次 \(check\) 为 \(O(1)\)
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅使用常数额外空间

5. 整数二分与可行性判定的核心思想：

   • 单调性利用：若兑换 \(mid\) 份可行，则兑换少于 \(mid\) 份也一定可行，答案具有单调性，适合二分
   • 贪心调整原理：优先按"消耗更多第一种资源"的方式分配，若第一种资源不足则通过交换调整为"消耗更少第一种资源"的方式。每次交换减少 \(a-b\) 的第一种资源消耗，同时增加 \(a-b\) 的第二种资源消耗
   • 向上取整的边界处理：\(k = \lceil (x-n)/(a-b) \rceil\) 确保调整后 \(x \leq n\)，使用浮点计算或整数技巧实现
   • 对称性统一：通过 \(swap\) 确保 \(n \geq m\) 且 \(a \geq b\)，简化后续逻辑，避免分类讨论
   • 适用于资源分配、组合优化中答案具有单调性的二分判定类问题

【算法标签】

普及 #整数二分

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long  // 定义int为long long类型
const int N = 10005;   // 定义最大可能值（未实际使用）

int n, m;              // 两个资源总量
int a, b;              // 两种资源的消耗比例
int ans = 0;           // 存储最终结果

// 检查在给定mid值下是否满足资源约束
bool check(int mid)
{
    // 计算按比例消耗的资源量
    int x = a * mid;  // 第一种资源消耗量
    int y = b * mid;  // 第二种资源消耗量

    // 如果第一种资源超限，调整消耗量
    if (x > n)
    {
        // 计算需要调整的次数
        int k = ceil(1.0 * (x - n) / (a - b));
        // 调整后的资源消耗量
        x -= k * (a - b);
        y += k * (a - b);
    }

    // 检查调整后的资源是否都在限制范围内
    return x <= n && y <= m;
}

signed main()
{
    // 输入资源总量和消耗比例
    cin >> n >> m;
    cin >> a >> b;

    // 确保n >= m且a >= b（优化比较）
    if (n < m) swap(n, m);
    if (a < b) swap(a, b);

    // 二分查找最大满足条件的mid值
    int l = 0, r = m;  // 初始化二分范围
    while (l <= r)
    {
        int mid = (l + r) / 2;  // 计算中间值

        // 检查当前mid是否满足条件
        if (check(mid))
        {
            ans = mid;      // 更新答案
            l = mid + 1;    // 尝试更大的值
        }
        else
            r = mid - 1;    // 尝试更小的值
    }

    // 输出最终结果
    cout << ans << endl;

    return 0;
}

【运行结果】

8 8
2 1
5