题解：洛谷 AT_abc466_c Count Close Pairs

【题目来源】

洛谷：AT_abc466_c [ABC466C] Count Close Pairs

【题目描述】

本题是一道 交互式问题（你编写的程序与评测程序通过标准输入输出进行交互的问题）。

在数轴上，点 \(1\) , \(2\) , \(\ldots\) , \(N\) 按此顺序 从左到右排列。

最初，你只会得到整数 \(N\)。

之后，你可以向评测程序进行最多 \({2N}\) 次以下提问：

• 选择满足 \(1 \leq i < j \leq N\) 的整数 \(i,j\) ，询问点 \(i\) 和点 \(j\) 之间的距离是否不超过 \(1\)。

请输出距离不超过 \(1\) 的点对数量，即满足 \(1\leq i<j\leq N\) 且点 \(i\) 和点 \(j\) 之间的距离不超过 \(1\) 的整数对 \((i,j)\) 的数量。

【输入输出】

首先，从标准输入接收表示点数的整数 \(N\)。

\(N\)

接着，你可以向评测程序重复提问，最多 \(2N\) 次。

提问请按以下格式输出到标准输出。其中， \(i,j\) 必须是满足 \(1 \leq i<j \leq N\) 的整数。

? \(i\) \(j\)

作为对此提问的响应，标准输入会给出以下两种回复之一：

Yes

No

其中，Yes 表示点 \(i\) 和点 \(j\) 之间的距离不超过 \(1\)，No 表示点 \(i\) 和点 \(j\) 之间的距离大于 \(1\)。

当得出问题的答案 \(X\) 后，请按以下格式输出答案。随后，请立即结束程序。

! \(X\)

【核心思想】

1. 问题分析：数轴上有 \(N\) 个按顺序排列的点，具体坐标未知。通过最多 \(2N\) 次交互询问判断点对 \((i,j)\) 距离是否 \(\leq 1\)，求满足条件的点对总数。这是一个交互式双指针问题，核心在于利用距离单调性，通过双指针扫描高效统计满足条件的点对，同时严格控制询问次数在 \(2N\) 以内。

2. 算法选择：

   • 双指针（Two Pointers）：维护区间 \([l, r]\)，利用单调性——若 \((l, r)\) 距离 \(> 1\)，则对于固定 \(l\)，所有 \(r' > r\) 的距离也 \(> 1\)；若 \((l, r)\) 距离 \(\leq 1\)，则 \(r\) 可以右移扩大区间
   • 交互式贪心：每次询问后根据回答调整指针，确保每个点作为左端点或右端点最多被询问 \(2\) 次

3. 关键步骤：

   • 初始化：\(l \leftarrow 1\)，\(r \leftarrow 2\)，\(ans \leftarrow 0\)
   • 双指针扫描（\(r \leq N\)）：
     • 询问 \((l, r)\) 的距离是否 \(\leq 1\)
     • 若回答 No（距离 \(> 1\)）：
       • 区间 \([l, r-1]\) 内所有点与 \(l\) 的距离均 \(\leq 1\)，累加 \(ans \leftarrow ans + (r - l - 1)\)
       • \(l \leftarrow l + 1\)（左端点右移）
       • 若 \(l = r\)，则 \(r \leftarrow r + 1\)
     • 若回答 Yes（距离 \(\leq 1\)）：
       • \(r \leftarrow r + 1\)（右端点右移）
   • 处理剩余区间：当 \(r > N\) 时，区间 \([l, N]\) 内所有点对距离均 \(\leq 1\)，累加 \(ans \leftarrow ans + \sum_{i=l}^{N-1} (N - i)\)
   • 输出答案：! ans

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N)\)，双指针过程中 \(l\) 和 \(r\) 均最多移动 \(N\) 次
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅使用常数额外空间
   • 询问次数：最多 \(2N\) 次，满足题目限制

5. 双指针与交互式策略的核心思想：

   • 单调性利用：点按顺序排列，若 \((l, r)\) 距离 \(> 1\)，则对于固定 \(l\)，所有 \(r' > r\) 的距离也必然 \(> 1\)。因此一旦得到 No，即可确定以 \(l\) 为左端点的所有有效点对都在 \([l, r-1]\) 内
   • 指针移动的不变性：维护区间 \([l, r]\) 满足——\(l\) 与 \([l, r-1]\) 内所有点距离均 \(\leq 1\)，而 \(l\) 与 \(r\) 的距离 \(> 1\)（或 \(r > N\)）。每次 No 时可一次性统计 \(l\) 的所有有效点对
   • 询问次数控制：每个点最多作为左端点被询问 \(1\) 次（\(l\) 右移时），最多作为右端点被询问 \(1\) 次（\(r\) 右移时），总计不超过 \(2N\) 次
   • 剩余区间公式化：当 \(r\) 超出范围后，\([l, N]\) 内所有点对距离均 \(\leq 1\)，直接通过公式计算，无需额外询问
   • 适用于有序序列上的区间统计、交互式信息获取类问题

【算法标签】

普及 #双指针

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;                             // n: 数轴上的点数
int l = 1, r = 2;                  // l: 当前区间的左端点; r: 当前区间的右端点
int ans;                           // ans: 距离不超过 1 的点对数量
string s;                          // s: 评测程序的回复（"Yes" 或 "No"）

int main()
{
    cin >> n;                      // 读入点数 N

    while (r <= n)                  // 双指针扫描所有可能的点对
    {
        cout << "? " << l << " " << r << endl;  // 询问点 l 和点 r 的距离是否不超过 1
        cin >> s;                  // 读入评测程序的回复

        if (s == "No")             // 如果距离超过 1
        {
            ans += r - l - 1;      // 区间 [l, r) 内的所有点与 l 的距离都不超过 1，累加这些点对
            l++;                   // 左端点右移，缩小当前区间

            if (l == r)            // 如果左右端点重合
                ++r;               // 右端点右移，扩大区间
        }
        else                        // 如果距离不超过 1
            ++r;                   // 右端点右移，扩大当前区间
    }

    for (int i = l; i < n; i++)   // 处理剩余区间内的点对
        ans += n - i;              // 累加从 i 出发到 n 的所有点对

    cout << "! " << ans << endl;   // 输出最终答案

    return 0;
}