题解：洛谷 P17012 条形蛋糕
【题目来源】
洛谷：P17012 [GESP202606 六级] 条形蛋糕 - 洛谷
【题目描述】
寒假到了，小杨同学打算找一份兼职，顺便体验一下打工人的生活。
小杨同学给一家蛋糕店发送了一份自己的简历，希望可以在寒假来这里帮忙。店长最近正好遇到了一个难题：店里每天会做一条长条蛋糕，但是不同长度的蛋糕块卖出的价格不同，应该怎么分才能卖得最多呢？
有趣的是店长曾经学习过计算机专业。他最近对动态规划算法很感兴趣，于是打算用这个问题考一考小杨同学，问题如下：
- 给定一条长度为 \(n\) 的长条蛋糕和一个价格表，该价格表表示长度为 \(i\) (\(i = 1, 2, \dots, n\)) 的蛋糕块的价格为 \(p_i\)。求蛋糕的分割方案，使得总销售价格最大，注意蛋糕块的长度必须为整数。
【输入】
第一行一个正整数 \(n\) (\(1 \le n \le 10^3\))，表示长条蛋糕的总长度。
第二行 \(n\) 个正整数 \(p_1, p_2, \dots, p_n\) (\(1 \le p_i \le 10^5\))，表示不同长度蛋糕块的价格。
【输出】
一行一个正整数，表示最大总销售价格。
【输入样例】
4
1 5 8 9
【输出样例】
10
【核心思想】
-
问题分析：给定长度为 \(n\) 的蛋糕和价格表 \(p_1, p_2, \ldots, p_n\)，要求将蛋糕分割为若干整数长度的块，使得总价格最大。这是一个完全背包问题，核心在于每种长度的蛋糕块可以无限选取，在总长度限制下最大化总价值。
-
算法选择：
- 动态规划（完全背包）：设 \(dp[j]\) 表示总长度为 \(j\) 时的最大价格，每种长度 \(i\) 的物品可以无限次选取
- 状态转移：\(dp[j] = \max(dp[j], dp[j-i] + p_i)\)，表示在总长度 \(j\) 中选择一块长度为 \(i\) 的蛋糕
-
关键步骤：
- 初始化：\(dp[0] = 0\)，其余 \(dp[j] = 0\)（正整数价格保证非负，初始化为 \(0\) 即可）
- 外层枚举物品（\(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)）：遍历每种可选的蛋糕长度
- 内层枚举容量（\(j\) 从 \(i\) 到 \(n\)）：正序遍历，允许同一物品重复选取
- 状态转移：\(dp[j] \leftarrow \max(dp[j], dp[j-i] + p_i)\)
- 输出结果：\(dp[n]\)
-
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(n^2)\)，外层 \(n\) 种长度，内层最多 \(n\) 的容量
- 空间复杂度：\(O(n)\)，一维 \(dp\) 数组即可，二维数组可优化为一维
-
完全背包的核心思想：
- 无限选取特性：与 \(0/1\) 背包不同，完全背包中每种物品可以选取任意多次，因此内层循环正序遍历（\(j\) 从 \(i\) 到 \(n\)），使得 \(dp[j-i]\) 可能已经包含了当前物品 \(i\)，实现无限选取
- 最优子结构：总长度为 \(j\) 的最优解可以由总长度为 \(j-i\) 的最优解加上一块长度为 \(i\) 的蛋糕得到，即 \(dp[j] = \max_{1 \leq i \leq j}\{dp[j-i] + p_i\}\)
- 空间优化：一维数组即可满足需求，\(dp[j]\) 在更新时引用的是同一轮已更新的 \(dp[j-i]\)，隐含了"无限选取"的语义
- 与 \(0/1\) 背包的区别：\(0/1\) 背包内层逆序遍历防止重复选取，完全背包正序遍历允许重复选取
- 适用于物品无限供应、在容量限制下最大化价值的资源分配类问题
【算法标签】
普及- #完全背包
【代码详解】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005; // 常量：最大蛋糕长度
int n; // n: 蛋糕总长度
int p[N]; // p[i]: 长度为 i 的蛋糕块的价格
int dp[N][N]; // dp[i][j]: 考虑前 i 种长度，总长度为 j 时的最大价格
int main()
{
cin >> n; // 读入蛋糕总长度
for (int i = 1; i <= n; i++) // 读入各长度蛋糕块的价格
cin >> p[i];
for (int i = 1; i <= n; i++) // 枚举考虑的蛋糕长度种类（1到i）
for (int j = 0; j <= n; j++) // 枚举当前总长度
{
dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 不选长度为 i 的蛋糕块
if (j >= i) // 如果当前总长度可以放下长度为 i 的蛋糕块
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - i] + p[i]); // 选一块长度为 i 的蛋糕
}
cout << dp[n][n] << endl; // 输出最大总销售价格
return 0;
}
【运行结果】
4
1 5 8 9
10
【算法真传】
浙公网安备 33010602011771号