题解：洛谷 P17011 晚宴

【题目来源】

洛谷：P17011 [GESP202606 五级] 晚宴 - 洛谷

【题目描述】

小明去参加晚宴。晚宴中有 \(n\) 个菜肴，每个菜肴都有一个美味度，第 \(i\) 个菜肴的美味度为 \(v_i\)。

晚宴规定小明只能恰好选取两道菜肴，并且这两道菜肴的美味度必须要互质（即最大公约数为 \(1\)）。

请帮助小明选取两道菜肴，使得两道菜肴美味度之和最大。

【输入】

输入 \(2\) 行，

第一行为一个正整数 \(n\)，表示菜肴的个数；

第二行为 \(n\) 个整数 \(v_1, v_2, \cdots, v_n\) 表示菜肴的美味度，整数之间以空格分隔。

【输出】

输出一个整数，表示两道互质菜肴美味度之和的最大值。

【输入样例】

5
3 5 7 35 105

【输出样例】

38

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 个菜肴的美味度 \(v_1, v_2, \ldots, v_n\)，要求恰好选取两道互质（\(\gcd(v_i, v_j) = 1\)）的菜肴，使得美味度之和最大。这是一个枚举 + 最大公约数问题，核心在于遍历所有不重复的菜对并筛选满足互质条件的最大和。

2. 算法选择：

   • 双重枚举：枚举所有 \(C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}\) 种菜对组合
   • 最大公约数判定：利用 __gcd 函数判断两数是否互质

3. 关键步骤：

   • 读入数据：读取 \(n\) 和数组 \(a[1..n]\)
   • 枚举菜对（\(i\) 从 \(1\) 到 \(n-1\)，\(j\) 从 \(i+1\) 到 \(n\)）：
     • 计算 \(\gcd(a_i, a_j)\)
     • 若 \(\gcd(a_i, a_j) = 1\)，则 \(ans \leftarrow \max(ans, a_i + a_j)\)
   • 输出结果：\(ans\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n^2 \cdot \log V)\)，其中 \(V\) 为美味度最大值，\(n^2\) 对枚举，每对 \(\gcd\) 计算为 \(O(\log V)\)
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅使用常数额外空间

5. 枚举与互质判定的核心思想：

   • 全枚举保证最优：由于 \(n\) 规模较小（\(n \leq 1000\)），\(O(n^2)\) 的枚举量约为 \(5 \times 10^5\)，在可接受范围内，直接遍历所有组合即可找到全局最优解
   • 互质条件筛选：利用欧几里得算法（辗转相除法）计算最大公约数，当 \(\gcd = 1\) 时两数互质，满足题目约束
   • 去重处理：通过 \(j\) 从 \(i+1\) 开始枚举，确保每对菜肴只被考虑一次，避免重复计算和自配对
   • 贪心不可行：不能简单地选取两个最大数，因为它们可能不互质（如样例中的 \(35\) 和 \(105\) 的 \(\gcd = 35\)），必须验证互质条件
   • 适用于约束规模较小、需要遍历所有组合并满足特定数学条件的枚举类问题

【算法标签】

普及- #欧几里得算法

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005;                // 常量：最大菜肴数量

int n;                             // n: 菜肴个数
int ans;                           // ans: 两道互质菜肴美味度之和的最大值
int a[N];                          // a[i]: 第 i 个菜肴的美味度

int main()
{
    cin >> n;                      // 读入菜肴个数

    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 读入 n 个菜肴的美味度
        cin >> a[i];

    for (int i = 1; i < n; i++)   // 枚举第一道菜
        for (int j = i + 1; j <= n; j++)  // 枚举第二道菜（确保不重复选同一道菜）
            if (__gcd(a[i], a[j]) == 1)  // 如果两道菜的美味度互质
                ans = max(ans, a[i] + a[j]);  // 更新最大美味度之和

    cout << ans << endl;           // 输出最大美味度之和

    return 0;
}

【运行结果】

5
3 5 7 35 105
38

【算法真传】

从一道 GESP 真题出发：聊聊枚举与最大公约数