题解：学而思编程 冲刺信奥

【题目来源】

学而思编程：冲刺信奥

【题目描述】

不知不觉已经进入炎热的夏天，小猴发现暑假完了之后今年的CSP-J就临近比赛了，所以小猴想提前做好复习规划：小猴决定从下周一开始努力刷题备战CSP-J，他计划周一至周五每天做 \(a\) 道题目，周六和周日每天做 \(b\) 道题目。

请你帮小猴计算，按照计划他将在第几天实现做题数大于 \(n\) 题？

【输入】

一行包含三个整数 \(a\)，\(b\) 和 \(n\)。

【输出】

一行，一个整数代表天数。

【输入样例】

10 20 99

【输出样例】

8

【核心思想】

1. 问题分析：给定周一至周五每天做 \(a\) 题、周六周日每天做 \(b\) 题的计划，求累计做题数首次超过 \(n\) 题所需的天数。这是一个周期模拟问题，核心在于利用周期性规律减少重复计算，将大规模模拟优化为整周计算 + 剩余天数模拟。

2. 算法选择：

   • 周期分解：以 \(7\) 天为一个周期，先计算完整周期的数量，再模拟剩余不足一周的天数
   • 取模运算：利用 \(n \bmod s\) 提取不足一个周期的剩余量，避免逐天遍历所有天数

3. 关键步骤：

   • 计算周工作量：\(s = 5 \times a + 2 \times b\)，即一个完整周期（\(7\) 天）的总做题量
   • 整周处理：\(res = \lfloor n / s \rfloor \times 7\)，计算完整周期对应的天数，\(n \leftarrow n \bmod s\) 得到剩余目标量
   • 模拟剩余天数：定义周期内每日工作量数组 \(d = [a, a, a, a, a, b, b]\)，逐天累加 \(sum\)，直到 \(sum > n\)
   • 总天数累加：\(res \leftarrow res + day\)，其中 \(day\) 为最后不足一周所需的天数
   • 输出结果：\(res\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(1)\)，整周计算为 \(O(1)\)，剩余天数模拟最多 \(7\) 天，亦为 \(O(1)\)
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅需常数级别变量和固定长度为 \(7\) 的数组

5. 周期模拟的核心思想：

   • 周期性规律利用：当操作具有固定周期时，不必逐天模拟，而是通过除法快速跳过完整周期，大幅降低时间复杂度
   • 取模提取余量：\(n \bmod s\) 将大规模问题缩小为周期内的局部问题，使得剩余部分可以在常数时间内完成模拟
   • 边界条件处理：循环条件使用 \(sum \leq n\) 确保累计量严格大于 \(n\) 时才停止，满足题目"大于 \(n\) 题"的要求
   • 防溢出处理：使用 long long 避免 \(5 \times a + 2 \times b\) 在 \(a, b\) 较大时发生整数溢出
   • 适用于具有固定周期规律、需要计算累计量达到阈值所需步数的模拟类问题

【解题思路】

【算法标签】

模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long           // 将 int 定义为 long long，防止乘法溢出

signed main()                   // 使用 signed 替代 int，因为 #define int long long
{
    int a, b, n;                // a: 周一至周五每天做题数, b: 周六周日每天做题数, n: 目标做题总数
    cin >> a >> b >> n;         // 读入三个整数

    int s = 5 * a + 2 * b;      // s: 一周（7天）的总做题量 = 5天×a + 2天×b

    int res = n / s * 7;        // res: 完整周数对应的天数
                                // n/s 得到完整周数，乘以7得到完整周的天数

    int sum = 0;                // sum: 当前周内累计做题数

    n %= s;                     // n: 剩余不足一周的做题量

    // 一周每天的工作量数组：周一到周五每天a题，周六周日每天b题
    int d[] = {a, a, a, a, a, b, b};

    int day = 0;                // day: 当前周内经过的天数

    // 模拟不足一周的做题过程，直到累计做题数超过剩余目标n
    while (sum <= n)            // 当累计工作量小于等于剩余目标时继续
    {
        day++;                  // 天数增加
        sum += d[(day - 1) % 7];    // 加上当天工作量，用模7循环取一周中的某天
    }

    res += day;                 // 总天数 = 完整周天数 + 最后不足一周的天数

    cout << res << endl;        // 输出实现做题数大于n所需的总天数

    return 0;
}

【运行结果】

10 20 99
8