题解：学而思编程 排位

【题目来源】

学而思编程：排位

【题目描述】

有 \(n\) 个人排成了一队，小X就在其中。

他不知道自己的确切排位，但是他能确定的是，排在他前面的人不少于 \(a\) 个，排在他后面的人不超过 \(b\) 个。

请问，对于他的具体排位，一共有多少种可能性？

【输入】

第一行包含整数 \(T\)，表示共有 \(T\) 组数据。

每组数据占一行，包含三个整数 \(n,a,b\)。

【输出】

每组数据输出一行结果，一个整数，表示小X具体排位的可能数量。

【输入样例】

2
3 1 1
5 2 3

【输出样例】

2
3

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 个人排队，小X前面不少于 \(a\) 人，后面不超过 \(b\) 人。求小X排位的可能数量。这是一个区间计数问题，关键在于将"前面不少于 \(a\)"和"后面不超过 \(b\)"转化为小X位置的数学约束，计算合法位置区间的长度。

2. 算法选择：

   • 位置建模：设小X排在第 \(k\) 位（从 \(1\) 开始计数），前面有 \(k-1\) 人，后面有 \(n-k\) 人
   • 不等式约束：将题意转化为关于 \(k\) 的不等式组，求解合法 \(k\) 的区间范围

3. 关键步骤：

   • 读取输入：读取测试组数 \(T\)
   • 逐组处理（循环 \(T\) 次）：
     • 读取 \(n\)（总人数）、\(a\)（前面不少于 \(a\) 人）、\(b\)（后面不超过 \(b\) 人）
     • 建立约束：
       • 前面不少于 \(a\) 人：\(k - 1 \ge a \Rightarrow k \ge a + 1\)
       • 后面不超过 \(b\) 人：\(n - k \le b \Rightarrow k \ge n - b\)
       • 位置合法性：\(1 \le k \le n\)
     • 综合约束：\(k \ge \max(a + 1, n - b)\) 且 \(k \le n\)
     • 计算合法区间长度：
       • 若 \(a + b = n\)：合法位置为 \(k \in [a+1, n]\)，数量为 \(n - a = b\)
       • 若 \(a + b < n\)：合法位置为 \(k \in [n-b, n]\)，数量为 \(b + 1\)
       • 若 \(a + b > n\)：约束冲突，前面至少 \(a\) 人且后面最多 \(b\) 人，总人数至少 \(a + 1 + 0 = a + 1\)，但 \(a + b > n\) 意味着 \(a > n - b\)。合法位置为 \(k \in [a+1, n]\)，数量为 \(n - a\)
   • 输出结果：根据上述三种情况输出对应数量

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(T)\)，每组数据 \(O(1)\) 计算
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅使用常数个变量

5. 区间约束的核心思想：

   • 双约束交集：小X的位置受"前面不少于 \(a\)"和"后面不超过 \(b\)"两个约束共同限制，合法位置是两者的交集
   • 边界情况分析：
     • \(a + b = n\)：约束恰好饱和，小X位置固定为 \(a+1\) 到 \(n\) 的 \(b\) 个位置
     • \(a + b < n\)：约束宽松，存在额外空间，小X可以在 \(n-b\) 到 \(n\) 的 \(b+1\) 个位置
     • \(a + b > n\)：约束过紧，"前面不少于 \(a\)"成为主导限制，合法位置从 \(a+1\) 开始到 \(n\)，共 \(n-a\) 个
   • 计数技巧：合法位置数量 = 右端点 \(n\) - 左端点 \(\max(a+1, n-b)\) + \(1\)，通过分类讨论简化计算
   • 适用于区间约束求解、边界条件分析类计数问题

【算法标签】

数学

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t;

int main()
{
    cin >> t;
    for (int i = 1; i <= t; i++)
    {
        int n, a, b;
        cin >> n >> a >> b;
        // 分三种情况计算
        if (a + b == n)
        {
            cout << b << endl;  // 如果刚好坐满，则b的个数就是b
        }
        if (a + b < n)
        {
            cout << b + 1 << endl;  // 如果还有空位，b可以多坐一个人
        }
        if (a + b > n)
        {
            cout << n - a << endl;  // 如果座位不够，剩余的座位全给b
        }
    }
    return 0;
}

【运行结果】

2
3 1 1
2
5 2 3
3