题解：学而思编程 公平分配

【题目来源】

学而思编程：公平分配

【题目描述】

小猴和小美从猴博士那里得到 \(n\) 个糖果。每一颗糖果重 \(1\) 克或 \(2\) 克。现在他们想要公平地将糖果分成两组，使得两组糖果的重量（每一组糖果的重量之和）相等。他们想要你帮助判断糖果是否能恰好分成两组。

【输入】

输入第一行一个整数 \(t\)，表示测试数据的组数。

接下来，每组数据第一行一个整数 \(n\) 表示两人收到的糖果数量。

接下来一行 \(n\) 个整数 \(w_1,w_2,\dots,w_n\)，表示每颗糖果的重量。

【输出】

输出共 \(t\) 行。对于每组测试数据，如果可以分成重量相等的两组，则输出 YES，否则输出 NO。

【输入样例】

4
1
2
2
1 2
3
1 1 1
4
2 2 2 2

【输出样例】

NO
NO
NO
YES

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 颗糖果，每颗重量为 \(1\) 克或 \(2\) 克，判断能否分成两组使重量相等。这是一个奇偶性分析问题，关键在于发现重量为 \(2\) 克的糖果不影响分组的奇偶约束，而重量为 \(1\) 克的糖果数量直接决定可行性。

2. 算法选择：

   • 奇偶不变性：分析两类糖果对分组奇偶性的不同影响
   • 计数判定：统计重量为 \(1\) 的糖果数量 \(cnt\)，根据奇偶性直接判定

3. 关键步骤：

   • 读取输入：读取测试组数 \(t\)
   • 逐组处理（循环 \(t\) 次）：
     • 读取糖果数量 \(num\)
     • 统计 \(1\) 克糖果：初始化 \(cnt = 0\)，遍历 \(num\) 颗糖果：
       • 若 \(w_j = 1\)，则 \(cnt \leftarrow cnt + 1\)
       • 重量为 \(2\) 的糖果无需额外统计
     • 判定条件：
       • 若 \(cnt \bmod 2 = 0\) 且 \(cnt \neq 0\)：\(1\) 的个数为偶数且存在，输出 YES
       • 否则若 \((num - cnt) \bmod 2 = 0\) 且 \(cnt = 0\)：全是 \(2\) 且个数为偶数，输出 YES
       • 否则：输出 NO

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(t \times num)\)，每组数据遍历 \(num\) 颗糖果
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅使用 \(cnt\) 计数器，无需存储数组

5. 奇偶分析的核心思想：

   • \(2\) 克糖果的消去性：重量为 \(2\) 的糖果无论分配到哪一组，对两组重量差的贡献都是偶数。偶数个 \(2\) 可均分，奇数个 \(2\) 无法均分（除非有 \(1\) 克糖果配合调整奇偶）
   • \(1\) 克糖果的决定性：\(1\) 克糖果是改变重量奇偶性的唯一来源。设 \(1\) 克糖果有 \(cnt\) 个，\(2\) 克糖果有 \(num - cnt\) 个：
     • 若 \(cnt = 0\)（全为 \(2\)）：需 \(num\) 为偶数才能均分，每组 \(num/2\) 个 \(2\) 克糖果
     • 若 \(cnt > 0\)：\(2\) 克糖果可任意均分（或放入同一组由 \(1\) 克糖果补偿），关键是 \(1\) 克糖果需为偶数才能均分
   • 简化判定：实际只需关注 \(1\) 克糖果的个数是否为偶数（且存在），或全为 \(2\) 时总数是否为偶数
   • 适用于重量约束下的分组问题、奇偶性判定类组合问题

【算法标签】

数学

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int num;
        cin >> num;  // 读取数字个数
        int cnt = 0;  // 统计值为1的个数
        for (int j = 1; j <= num; j++)
        {
            int w;
            cin >> w;
            if (w == 1)
            {
                cnt++;  // 统计1的个数
            }
        }
        // 判断条件1：如果1的个数是偶数且不为0
        if (cnt % 2 == 0 && cnt != 0)
        {
            cout << "YES" << endl;
        }
        // 判断条件2：如果没有1，但非1的数字个数是偶数
        else if ((num - cnt) % 2 == 0 && cnt == 0)
        {
            cout << "YES" << endl;
        }
        else
        {
            cout << "NO" << endl;
        }
    }
    return 0;
}

【运行结果】

4
1
2
NO
2
1 2
NO
3
1 1 1
NO
4
2 2 2 2
YES