题解：学而思编程 元素分类

【题目来源】

学而思编程：元素分类

【题目描述】

给定 \(n\) 个整数元素 \(x_i\)。现在，需要你对这 \(n\) 个整数元素进行分类。

每个元素要么划分至 \(b\) 类，要么划分至 \(c\) 类。

我们设所有 \(b\) 类元素的相加之和为 \(sum_b\)，所有 \(c\) 类元素的相加之和为 \(sum_c\)。

请你计算 \(sum_b−sum_c\) 的最大可能值。

如果某类元素的个数为 \(0\)，则该类元素的相加之和视为 \(0\)。

【输入】

第一行包含整数 \(n\)。

第二行包含 \(n\) 个整数 \(x_i\)。

【输出】

输出一个整数，表示 \(sum_b−sum_c\) 的最大可能值。

【输入样例】

3
1 -2 0

【输出样例】

3

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 个整数 \(x_i\)，每个元素必须分配到 \(b\) 类或 \(c\) 类。设 \(sum_b\) 为 \(b\) 类元素之和，\(sum_c\) 为 \(c\) 类元素之和，求 \(sum_b - sum_c\) 的最大值。这是一个贪心分类问题，关键在于分析每个元素对目标函数的贡献，确定最优分配策略。

2. 算法选择：

   • 贪心策略（Greedy Choice）：对每个元素独立决策，使其对 \(sum_b - sum_c\) 的贡献最大化
   • 正负分离：根据元素的符号特征，分别归入不同类别以最大化差值

3. 关键步骤：

   • 初始化：\(sum_1 = 0\)（用于累加非负数），\(sum_2 = 0\)（用于累加负数）
   • 遍历元素：对于每个 \(x_i\)：
     • 若 \(x_i \ge 0\)：归入 \(b\) 类，\(sum_1 \leftarrow sum_1 + x_i\)
       • 选择理由：非负数放入 \(sum_b\) 直接增加差值，放入 \(sum_c\) 会减小差值（或不变）
     • 若 \(x_i < 0\)：归入 \(c\) 类，\(sum_2 \leftarrow sum_2 + x_i\)
       • 选择理由：负数放入 \(sum_c\) 时，\(sum_b - sum_c = sum_b - (\text{负数}) = sum_b + |x_i|\)，相当于增加差值；若放入 \(sum_b\) 则会减小差值
   • 计算答案：\(ans = sum_1 - sum_2\)
     • 由于 \(sum_2\) 为负数，\(sum_1 - sum_2 = sum_1 + |sum_2|\)，即所有非负数绝对值之和加上所有负数绝对值之和
   • 输出结果：\(ans\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n)\)，只需一次遍历所有元素
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅使用 \(sum_1\)、\(sum_2\) 两个累加器

5. 贪心决策的核心思想：

   • 独立最优性：每个元素对 \(sum_b - sum_c\) 的贡献只取决于自身分配，与其他元素无关。因此可以逐个独立做最优决策
   • 贡献分析：将 \(x_i\) 放入 \(b\) 类贡献为 \(+x_i\)，放入 \(c\) 类贡献为 \(-x_i\)。为使 \(sum_b - sum_c\) 最大，每个元素应选择贡献更大的方向：
     • 若 \(x_i \ge 0\)：\(+x_i \ge -x_i\)，选 \(b\) 类
     • 若 \(x_i < 0\)：\(-x_i > +x_i\)（负数的相反数为正），选 \(c\) 类
   • 全局最优性：局部最优决策的累加即为全局最优，无后效性和冲突性
   • 零的特殊处理：\(x_i = 0\) 时放入任一类贡献均为 \(0\)，归入 \(sum_1\) 不影响结果
   • 适用于每个元素独立贡献、无交叉约束的最大化/最小化分配问题

【算法标签】

模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, sum1, sum2;  // sum1: 正数和, sum2: 负数和

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int num;
        cin >> num;
        // 根据正负分别累加
        if (num >= 0)
        {
            sum1 += num;  // 累加正数
        }
        else
        {
            sum2 += num;  // 累加负数
        }
    }
    // 输出正数和减去负数和
    cout << sum1 - sum2 << endl;
    return 0;
}

【运行结果】

3
1 -2 0
3