题解：学而思编程 调整元素

【题目来源】

学而思编程：调整元素

【题目描述】

给定 \(n\) 个整数元素 \(a_1,a_2,…,a_n\)。可以进行无限次操作，每次操作可以使其中任意一个元素的值增加 \(2\)。

请问，是否可以通过若干次操作使得所有元素的值都相等。

【输入】

第一行包含整数 \(T\)，表示共有 \(T\) 组测试数据。

每组数据：

第一行包含整数 \(n\)。

第二行包含 \(n\) 个整数 \(a_1,a_2,…,a_n\)。

【输出】

每组数据输出一行结果，能使得数组中所有元素的值都相等则输出 Yes，否则输出 No。

【输入样例】

3
2
1 3
3
2 4 6
4
1 3 4 7

【输出样例】

Yes
Yes
No

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 个整数 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)，每次操作可将任意元素增加 \(2\)。判断是否能使所有元素相等。这是一个不变量分析问题，关键在于发现操作对元素奇偶性的影响规律。

2. 算法选择：

   • 奇偶不变性（Parity Invariant）：分析操作 \(x \rightarrow x + 2\) 对元素奇偶性的影响
   • 分类统计：统计数组中奇数和偶数的个数，根据不变量判定可行性

3. 关键步骤：

   • 读取输入：读取测试用例数量 \(T\)
   • 逐组处理（循环 \(T\) 次）：
     • 读取数组长度 \(n\)
     • 统计奇偶性：初始化 \(odd = 0\)，\(even = 0\)，遍历 \(n\) 个元素：
       • 若 \(a_i \bmod 2 = 0\)，则 \(even \leftarrow even + 1\)
       • 否则 \(odd \leftarrow odd + 1\)
     • 判定条件：若 \(odd = 0\)（全为偶数）或 \(even = 0\)（全为奇数），输出 Yes；否则输出 No

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(T \times n)\)，每组数据需遍历 \(n\) 个元素进行奇偶统计
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅使用 \(odd\)、\(even\) 两个计数器，无需存储整个数组

5. 奇偶不变性的核心思想：

   • 操作保奇偶性：对任意整数 \(x\)，\(x + 2\) 与 \(x\) 的奇偶性相同，即 \((x + 2) \bmod 2 = x \bmod 2\)。因此增加 \(2\) 的操作不会改变元素的奇偶性
   • 等价类划分：所有整数按奇偶性分为两个等价类——奇数类和偶数类。操作只能在同一类内部移动，无法跨类转换
   • 目标可达条件：要使所有元素相等，它们必须属于同一奇偶类。若数组中同时存在奇数和偶数，则无论如何操作，奇数永远是奇数，偶数永远是偶数，不可能全部相等
   • 充分性证明：若所有元素同奇偶，设最大值为 \(max\)，由于每次可加 \(2\)，任何元素 \(a_i\) 都可以通过 \((max - a_i)/2\) 次操作达到 \(max\)（同奇偶保证差值为偶数，可被 \(2\) 整除）
   • 适用于分析操作对模某数余数的影响、判定状态可达性的不变量类问题

【算法标签】

数学

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int t;  // 测试用例数量

int main()
{
    cin >> t;  // 输入测试用例数量

    while (t--)  // 处理每个测试用例
    {
        int n;  // 数组中元素个数
        cin >> n;  // 输入数组大小

        int x;  // 临时变量，用于读取每个元素
        int odd = 0;  // 奇数计数器
        int even = 0;  // 偶数计数器

        // 读取数组元素并统计奇偶性
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            cin >> x;  // 输入一个数字
            if (x % 2 == 0)  // 如果是偶数
            {
                even++;  // 偶数计数加1
            }
            else  // 如果是奇数
            {
                odd++;  // 奇数计数加1
            }
        }

        // 判断条件：如果只有奇数或只有偶数
        if (odd == 0 || even == 0)  // 如果全部是偶数或全部是奇数
        {
            cout << "Yes" << endl;  // 输出Yes
        }
        else
        {
            cout << "No" << endl;  // 输出No
        }
    }

    return 0;  // 程序正常结束
}

【运行结果】

3
2
1 3
Yes
3
2 4 6
Yes
4
1 3 4 7
No