题解：学而思编程 增长或翻倍

【题目来源】

学而思编程：增长或翻倍

【题目描述】

给定正整数 \(s\) 和 \(t\)，保证 \(s \le t\)，我们希望利用增长或翻倍的操作，让 \(s\) 变成 \(t\)。

增长操作可以让数字加一，即 \(x\rightarrow x+1\)；

翻倍操作可以让数字翻倍，即 \(x\rightarrow 2\times x\)。

请问最少需要用多少步操作才能将 \(s\) 变成 \(t\) ？

【输入】

一行两个正整数，分别表示 \(s\) 与 \(t\)。

【输出】

一行一个整数，表示最少操作步数。

【输入样例】

1 4

【输出样例】

2

【核心思想】

1. 问题分析：给定起始值 \(s\) 和目标值 \(t\)（\(s \le t\)），通过增长（\(x \rightarrow x+1\)）和翻倍（\(x \rightarrow 2x\)）两种操作，求将 \(s\) 变为 \(t\) 的最少操作步数。这是一个逆向贪心问题，关键在于从 \(t\) 反向推导到 \(s\) 时，每一步选择最优的反向操作。

2. 算法选择：

   • 逆向思维：不从 \(s\) 正向枚举所有操作路径，而是从 \(t\) 反向操作回 \(s\)，大幅降低搜索空间
   • 贪心策略：在反向过程中，优先选择除以 2（对应正向的翻倍），当且仅当 \(t\) 为偶数且 \(t/2 \ge s\) 时执行；否则执行减 1（对应正向的增长）。这种策略保证每一步都尽可能"大步前进"

3. 关键步骤：

   • 初始化：读取 \(s\)（起始值）、\(t\)（目标值），初始化步数计数器 \(step = 0\)
   • 逆向循环（当 \(t \neq s\) 时继续）：
     • 判断能否除以 2：若 \(t \bmod 2 = 0\) 且 \(t/2 \ge s\)，则执行 \(t \leftarrow t/2\)，\(step \leftarrow step + 1\)
       • 选择理由：翻倍是增长效率最高的操作，反向时除以 2 能最大幅度缩小 \(t\) 与 \(s\) 的差距
       • 约束条件 \(t/2 \ge s\)：确保除以 2 后不会"越过" \(s\)，避免后续需要额外操作补回
     • 否则执行减 1：\(t \leftarrow t - 1\)，\(step \leftarrow step + 1\)
       • 选择理由：当 \(t\) 为奇数或 \(t/2 < s\) 时，除以 2 会导致结果小于 \(s\)，不如逐步减 1 精确逼近
   • 终止条件：当 \(t = s\) 时，输出 \(step\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(\log t)\)，每次除以 2 操作使 \(t\) 指数级减小，减 1 操作最坏情况下连续执行但受限于奇数间隔
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅使用常数个变量

5. 逆向贪心的核心思想：

   • 操作可逆性：增长（\(+1\)）的逆操作是减 1，翻倍（\(\times 2\)）的逆操作是除以 2，逆向过程与正向过程一一对应
   • 贪心最优性：从 \(t\) 反向时，优先选择"大步"（除以 2）总是优于或等于"小步"（减 1）的累积效果，因为 \(\times 2\) 是指数增长，其逆操作是指数缩减
   • 边界保护：条件 \(t/2 \ge s\) 防止贪心过度，确保每一步反向操作都在有效范围内
   • 与正向 BFS/DP 的对比：正向从 \(s\) 出发需要枚举两种分支，时间复杂度随步数指数爆炸；逆向从 \(t\) 出发每一步决策唯一， greedy 即可得到全局最优
   • 适用于操作可逆、且存在"高效操作"与"低效操作"之分的最短步数问题

【算法标签】

数学

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int s, t, step;  // s: 起点, t: 终点, step: 步数
int main()
{
    cin >> s >> t;  // 输入起点和终点
    while (s != t)  // 当起点不等于终点时循环
    {
        if (t % 2 == 0 && t / 2 >= s)  // 如果t是偶数且t/2≥s
        {
            t /= 2;  // 反向操作：除以2
        }
        else
        {
            t--;  // 反向操作：减1
        }
        step++;  // 步数加1
    }
    cout << step;  // 输出最小步数
    return 0;
}

【运行结果】

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2