题解：学而思编程 汽水兑奖

【题目来源】

学而思编程：汽水兑奖

【题目描述】

汽水公司的免费兑换规则如下：

收集 \(b\) 个瓶盖，可以免费换一瓶新的汽水。

收集 \(c\) 个空瓶子，也可以换一瓶新的汽水。

小X一开始有尚未开封的汽水 \(a\) 瓶，请问利用上述规则，最终可以喝到多少瓶汽水？注意不可以向他人借瓶盖或瓶子。

【输入】

一行三个整数 \(a,b, c\)，其含义同题目描述。

【输出】

一行一个整数，表示最多可以喝到多少瓶汽水。

【输入样例】

10 5 4

【输出样例】

17

【核心思想】

1. 问题分析：初始有 \(a\) 瓶未开封汽水，每喝一瓶产生 \(1\) 个瓶盖和 \(1\) 个空瓶。收集 \(b\) 个瓶盖或 \(c\) 个空瓶可换 \(1\) 瓶新汽水。求最终能喝到的汽水总数。这是一个模拟兑换 + 余数累加问题，关键在于同时追踪瓶盖和空瓶的累计数量，并计算每次能兑换的新汽水。

2. 算法选择：

   • 循环模拟：每轮喝掉当前所有汽水，累加瓶盖和空瓶，计算可兑换的新汽水
   • 余数复用：用 s1 % b 和 s2 % c 保留不足以兑换的余数，与新产生的合并

3. 关键步骤：

   • 初始化：读取 \(a\)（初始汽水）、\(b\)（瓶盖兑换数）、\(c\)（空瓶兑换数）
   • s = 0：累计喝到的汽水总数
   • s1 = 0：累计瓶盖数（模 \(b\) 意义下）
   • s2 = 0：累计空瓶数（模 \(c\) 意义下）
   • 循环兑换（当 a != 0 时）：
     • s += a：喝掉当前 \(a\) 瓶汽水
     • s1 = s1 % b + a：更新瓶盖总数 = 上轮余数 + 本轮新产生 \(a\) 个
     • s2 = s2 % c + a：更新空瓶总数 = 上轮余数 + 本轮新产生 \(a\) 个
     • a = s1 / b + s2 / c：本轮可兑换的新汽水数 = 瓶盖兑换数 + 空瓶兑换数
   • 输出 s

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(\log_{min(b,c)} a)\)，每轮至少将剩余量除以 \(min(b,c)\)，收敛快
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅需常数变量

5. 余数累加的核心思想：

   • 双资源追踪：瓶盖和空瓶是两种独立的兑换资源，需分别累计和兑换
   • 余数复用：s1 % b 保留不够兑换的瓶盖，与新喝的汽水产生的瓶盖合并，避免资源浪费
   • 同步更新：每轮喝掉的汽水同时产生等量的瓶盖和空瓶，两种资源同步增长
   • 收敛性：每轮兑换后 a 减少（或增长缓慢），最终必然收敛到 \(0\)
   • 适用于"多资源兑换 + 循环模拟"类问题，余数累加确保资源不浪费，模拟直至无法继续兑换

【算法标签】

数学

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a, b, c, s, s1, s2;  // a: 初始a, b: 除数1, c: 除数2, s: 总和, s1,s2: 余数累加
int main()
{
    cin >> a >> b >> c;  // 输入a,b,c
    while (a != 0)  // 当a不为0时循环
    {
        s += a;  // 累加a到总和s
        s1 = s1 % b + a;  // 更新s1的余数累加
        s2 = s2 % c + a;  // 更新s2的余数累加
        a = s1 / b + s2 / c;  // 计算新的a值
    }
    cout << s;  // 输出总和
    return 0;
}

【运行结果】

10 5 4
17