题解：学而思编程 青蛙跳

【题目来源】

学而思编程：青蛙跳

【题目描述】

一个青蛙位于 \(x\) 轴的 \(0\) 点。

它将进行 \(k\) 次跳跃，其中：

第 \(1,3,5…\) 次（奇数次）跳跃，向右跳 \(a\) 单位长度，即从 \(x\) 跳到 \(x+a\)。

第 \(2,4,6…\) 次（偶数次）跳跃，向左跳 \(b\) 单位长度，即从 \(x\) 跳到 \(x−b\)。

请问，最终它将跳到哪个位置？

【输入】

第一行包含整数 \(T\)，表示共有 \(T\) 组测试数据。

每组数据占一行，包含三个整数 \(a,b,k\)。

【输出】

每组数据输出一行结果，一个整数表示青蛙最终所在的位置坐标。

【输入样例】

2
1 1 1
1 1 2

【输出样例】

1
0

【核心思想】

1. 问题分析：青蛙从 \(0\) 出发，进行 \(k\) 次跳跃。奇数次向右跳 \(a\)，偶数次向左跳 \(b\)。求最终位置。这是一个周期分析 + 奇偶分类问题，关键在于将跳跃按奇偶配对，利用周期性简化计算。

2. 算法选择：

   • 周期配对：每两次跳跃（一奇一偶）构成一个周期，净位移为 \(a - b\)
   • 奇偶处理：\(k\) 为偶数时恰好整周期；\(k\) 为奇数时多一次向右跳

3. 关键步骤：

   • 初始化：读取 \(T\)（测试组数）
   • 处理每组数据：
     • 读取 \(a, b, k\)
     • s = (a - b) * (k / 2)：完整周期的净位移（\(k/2\) 个周期，每周期净位移 \(a - b\)）
     • 若 k % 2 == 1（\(k\) 为奇数）：
       • s += a：最后多一次奇数次跳跃（向右 \(a\)）
     • 输出 s

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(T)\)，每组数据 \(O(1)\) 计算
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅需常数变量

5. 周期配对的核心思想：

   • 跳跃模式识别：奇数次右跳 \(+a\)，偶数次左跳 \(-b\)，形成固定的 \((+a, -b)\) 周期
   • 整数除法取整：k / 2 自动向下取整，得到完整周期数，余数通过 k % 2 判断
   • 奇数补偿：奇数次跳跃意味着最后停留在右跳阶段，需额外加 \(a\)
   • 公式化简：无需模拟每次跳跃，直接数学计算，将 \(O(k)\) 降为 \(O(1)\)
   • 适用于"交替操作 + 周期规律"类问题，识别周期后可大幅优化计算效率

【算法标签】

数学

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int T, a, b, k, s;  // T: 测试用例数, a: 向上走的值, b: 向下走的值, k: 总步数, s: 最终位置
signed main()
{
    cin >> T;  // 输入测试用例数
    while (T--)  // 处理每个测试用例
    {
        cin >> a >> b >> k;  // 输入a,b,k
        s = (a - b) * (k / 2);  // 计算完整周期的净位移
        if (k % 2 == 1)  // 如果步数为奇数
        {
            s += a;  // 最后一步向上
        }
        cout << s << endl;  // 输出最终位置
    }
    return 0;
}

【运行结果】

2
1 1 1
1
1 1 2
0