题解：学而思编程 质数

【题目来源】

学而思编程：质数

【题目描述】

质数是指在大于 \(1\) 的自然数中，除了 \(1\) 和它本身以外不再有其他因数的自然数。现在给定你两个整数 \(a,b\)，请你找出 \(a\sim b\) 之间（不包含 \(a,b\)）所有个位为 \(1\) 的质数。

【输入】

一行两个整数 \(a,b\)。

【输出】

从小到大输出所有满足条件的质数，质数之间单个空格隔开，如果没有符合条件的质数输出 \(-1\)。

【输入样例】

1 97

【输出样例】

11 31 41 61 71

【核心思想】

1. 问题分析：给定区间 \((a, b)\)，找出其中所有个位为 \(1\) 的质数。这是一个范围筛选 + 质数判定问题，关键在于利用个位约束减少待检查的数字数量，仅对个位为 \(1\) 的数进行质数判定。

2. 算法选择：

   • 个位筛选：只检查个位为 \(1\) 的数字，步长为 \(10\)
   • 试除法质数判定：对每个候选数，检查 \(2\) 到 \(\sqrt{n}\) 是否有因数
   • 边界调整：将 \(a\) 向上调整到最近的 \(10\) 的倍数，确保从个位为 \(1\) 的数开始检查

3. 关键步骤：

   • 初始化：读取 \(a\) 和 \(b\)

   • 边界调整：

     • 若 a % 10 != 0：a = (a / 10 + 1) * 10：将 \(a\) 向上取整到最近的 \(10\) 的倍数

   • 筛选检查：

     • flag = 0：标记是否找到符合条件的质数
     • 遍历 \(i\) 从 a + 1 到 b - 1，步长 \(10\)：
       • 若 isp(i) 为真：
         • 输出 \(i\)
         • flag = 1

   • 无解处理：

     • 若 flag == 0：输出 \(-1\)

   • 质数判定函数 isp(n)：

     • 若 n < 2：返回 false
     • 遍历 \(i\) 从 \(2\) 到 \(\sqrt{n}\)：
       • 若 n % i == 0：返回 false
     • 返回 true

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(\frac{b-a}{10} \times \sqrt{b})\)，仅检查约 \(\frac{b-a}{10}\) 个候选数
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅需常数变量

5. 个位筛选的核心思想：

   • 步长优化：个位为 \(1\) 的数间隔为 \(10\)，用步长 \(10\) 遍历可将候选数减少 \(90\%\)
   • 边界对齐：将 \(a\) 调整到 \(10\) 的倍数后，a + 1 即为第一个个位为 \(1\) 的数，确保不遗漏
   • 开区间处理：循环条件 i < b 严格满足"不包含 \(b\)"的要求
   • 提前过滤：在质数判定前先用个位条件过滤，避免大量无效计算
   • 适用于"数位约束 + 质数筛选"类问题，利用数位规律大幅减少搜索空间

【算法标签】

质数

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a, b;  // 输入的区间边界[a, b]
bool flag;  // 标记是否找到了符合条件的素数

// 判断一个数是否为素数
bool isp(int n)
{
    if (n < 2)  // 小于2的数不是素数
    {
        return false;
    }

    // 检查从2到√n的所有数
    for (int i = 2; i * i <= n; i++)
    {
        if (n % i == 0)  // 如果能被整除，不是素数
        {
            return false;
        }
    }

    return true;  // 是素数
}

int main()
{
    cin >> a >> b;  // 输入区间边界

    // 调整a为10的倍数（向上取整到最近的10的倍数）
    if (a % 10 != 0)
    {
        a = (a / 10 + 1) * 10;
    }

    // 在区间(a, b)内查找以1结尾的素数
    for (int i = a + 1; i < b; i += 10)
    {
        if (isp(i))  // 如果是素数
        {
            cout << i << " ";  // 输出这个素数
            flag = 1;  // 标记找到了素数
        }
    }

    // 如果没有找到符合条件的素数
    if (flag == 0)
    {
        cout << "-1";  // 输出-1
    }

    return 0;  // 程序正常结束
}

【运行结果】

1 97
11 31 41 61 71