题解：学而思编程 特殊素数对

【题目来源】

学而思编程：特殊素数对

【题目描述】

任意两个素数 \(a,b\) 满足 \(|a-b| = 6\) 我们称 \((a,b)\) 是特殊素数对，\(a\) 和 \(b\) 分别称为特殊素数，例如 \((5, 11), (7, 13), (11, 17), (13, 19), \ldots\) 都是特殊素数对，其中 \(5, 7, 11, 13, 19\) 分别都是特殊素数。现在给定一个整数 \(n\)，请判断 \(n\) 是否是一个特殊素数。

【输入】

一行一个整数 \(n\)。

【输出】

如果 \(n\) 是一个特殊素数，第一行输出 Yes，第二行输出与 \(n\) 配对的另一个特殊素数（如果这样的数不唯一，只需要输出较小的哪一个）；

如果 \(n\) 不是一个特殊素数，第一行输出 No，第二行输出大于 \(n\) 的最小特殊素数。

【输入样例】

2

【输出样例】

No
5

【核心思想】

1. 问题分析：给定整数 \(n\)，判断是否为"特殊素数"（即存在另一个素数与其差为 \(6\)）。若是，输出 Yes 和配对的较小素数；若否，输出 No 和大于 \(n\) 的最小特殊素数。这是一个素数判定 + 条件搜索问题，关键在于理解特殊素数的定义并进行双向验证。

2. 算法选择：

   • 素数判定：试除法判断一个数是否为素数
   • 双向配对检查：对于 \(n\)，检查 \(n-6\) 和 \(n+6\) 是否为素数
   • 递增搜索：若 \(n\) 不是特殊素数，从 \(n+1\) 开始逐个检查直到找到特殊素数

3. 关键步骤：

   • 素数判定函数 isPrime(n)：
     • 若 \(n \leq 1\)：返回 false
     • 遍历 \(i\) 从 \(2\) 到 \(\sqrt{n}\)：若 \(n \bmod i = 0\) 则返回 false
     • 否则返回 true
   • 主函数：
     • 读取 \(n\)
     • 情况1：若 isPrime(n) 且 isPrime(n-6)：
       • 输出 Yes 和 n-6（配对中较小的）
     • 情况2：否则若 isPrime(n) 且 isPrime(n+6)：
       • 输出 Yes 和 n+6
     • 情况3：否则：
       • 从 \(i = n+1\) 开始无限循环：
         • 若 isPrime(i) 且 (isPrime(i+6) 或 isPrime(i-6))：
           • 输出 No 和 \(i\)，跳出循环

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(\sqrt{n})\) 素数判定，最坏情况搜索 \(O(V \times \sqrt{V})\)（\(V\) 为值域）
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅需常数变量

5. 双向验证的核心思想：

   • 特殊素数对的定义：\((a, b)\) 满足 \(|a-b| = 6\) 且均为素数，因此 \(n\) 是特殊素数当且仅当 \(n-6\) 或 \(n+6\) 中至少有一个是素数
   • 配对选择：若 \(n-6\) 和 \(n+6\) 均为素数，按题目要求输出较小的（即 \(n-6\)），因此先检查 \(n-6\)
   • 递增搜索保证：从 \(n+1\) 开始逐个检查，第一个满足条件的即为"大于 \(n\) 的最小特殊素数"
   • 素数判定复用：isPrime 函数统一处理所有素数判定，代码简洁
   • 适用于"素数对判定 + 极值搜索"类问题，双向验证覆盖所有配对可能

【算法标签】

质数

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 判断一个数是否为素数
bool isPrime(int n)
{
    if (n <= 1)  // 小于等于1的数不是素数
    {
        return false;
    }

    // 检查从2到√n的所有数
    for (int i = 2; i * i <= n; i++)
    {
        if (n % i == 0)  // 如果能被整除，不是素数
        {
            return false;
        }
    }

    return true;  // 是素数
}

int main()
{
    int n;  // 输入的数字
    cin >> n;  // 输入n

    // 情况1：n是素数，且n-6也是素数
    if (isPrime(n) && isPrime(n - 6))
    {
        cout << "Yes" << endl << n - 6 << endl;  // 输出Yes和配对的素数
    }
    // 情况2：n是素数，且n+6也是素数
    else if (isPrime(n) && isPrime(n + 6))
    {
        cout << "Yes" << endl << n + 6 << endl;  // 输出Yes和配对的素数
    }
    // 情况3：n不是素数，或者没有距离6的素数对
    else
    {
        // 从n+1开始寻找第一个满足条件的素数
        for (int i = n + 1; ; i++)  // 无限循环，直到找到符合条件的素数
        {
            if (isPrime(i) && (isPrime(i + 6) || isPrime(i - 6)))  // 找到满足条件的素数
            {
                cout << "No" << endl << i << endl;  // 输出No和找到的素数
                break;  // 找到后退出循环
            }
        }
    }

    return 0;  // 程序正常结束
}

【运行结果】

2
No
5