题解：学而思编程 拼数字

【题目来源】

学而思编程：拼数字

【题目描述】

小猴喜欢玩数字卡片游戏，每张卡片上的数字都是 \(0∼9\) 中的任意一个。

小猴已经积累了很多的数字卡片，并且 \(0∼9\) 的数字卡片小猴各有 \(n\) 张。

小猴想用这些卡片来拼从 \(1\) 开始的一些连续正整数，他想要知道自己手里的卡片能从 \(1\) 开始最大能拼到多少。

例如，小猴现在 \(0∼9\) 的数字卡片各有 \(3\) 张，那么小猴最大可以拼到 \(10\)，因为拼 \(11\) 时候数字 \(1\) 卡片只有 \(1\) 张了，不够拼出 \(11\)。

【输入】

一行一个整数 \(n\)。

【输出】

一行一个整数，表示小猴最大可以拼到的整数。

【输入样例】

1

【输出样例】

9

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(0\) 到 \(9\) 的数字卡片各 \(n\) 张，从 \(1\) 开始连续拼接正整数，求最大能拼到多少。这是一个贪心模拟 + 逐位检查问题，关键在于从 \(1\) 开始逐个尝试，每次消耗对应数字的卡片，直到某个数字无法拼出。

2. 算法选择：

   • 贪心递增：从 \(1\) 开始逐个尝试，能拼出则继续，不能则停止
   • 逐位消耗：将每个数字的各位分解，检查并消耗对应卡片

3. 关键步骤：

   • 初始化：
     • 读取 \(n\)
     • num[i] = n（\(i\) 从 \(0\) 到 \(9\)）：每种数字卡片初始 \(n\) 张
   • 逐个尝试：
     • ans = 1
     • 当 check(ans) 为真时循环：ans++
   • 检查函数 check(x)：
     • 当 x > 0 时循环：
       • y = x % 10：取出最低位数字
       • num[y]--：消耗该数字卡片
       • 若 num[y] < 0：返回 false（卡片不足）
       • x /= 10：去掉最低位
     • 返回 true
   • 输出 ans - 1（最后一个能拼出的数字）

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(ans \times \log ans)\)，\(ans\) 为答案，每个数字最多 \(\log ans\) 位
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅需 \(10\) 个计数变量

5. 贪心模拟的核心思想：

   • 连续性约束：必须从 \(1\) 开始连续拼，不能跳过，因此贪心逐个尝试是最优策略
   • 卡片消耗不可逆：check 函数中直接修改 num 数组，模拟真实消耗过程，一旦失败无法回退
   • 逐位分解：通过 %10 和 /10 逐位提取数字，独立检查每种卡片的剩余量
   • 终止条件：当某个数字的卡片耗尽且该数字 needed 时，check 返回 false，循环终止
   • 适用于"资源有限 + 连续构造"类问题，贪心模拟直观且能保证最优性（因为必须连续）

【算法标签】

模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n, num[10];  // 数字数量限制n，数字0-9的剩余数量数组
bool check(int x)  // 检查能否用剩余数字组成数字x
{
    while (x>0)  // 逐位检查
    {
        int y = x % 10;  // 取出最低位
        num[y]--;  // 该数字使用次数减1
        if (num[y]<0) return false;  // 如果数字用完，返回false
        x /= 10;  // 去掉最低位
    }
    return true;  // 可以组成数字x
}
signed main()  // 主函数
{
    cin >> n;  // 输入每个数字最多可用次数
    for (int i=0; i<=9; i++) num[i] = n;  // 初始化所有数字的剩余数量
    int ans = 1;  // 从数字1开始尝试
    while (check(ans)==true) ans++;  // 不断尝试更大的数字
    cout << ans - 1 << endl;  // 输出能组成的最大数字
    return 0;  // 程序正常结束
}

【运行结果】

1
9