题解：学而思编程 回文质数（一）

【题目来源】

学而思编程：回文质数（一）

【题目描述】

小猴最近在编程课上学习了回文数，并且在数学课上学习质数。

小猴想要知道在 \(L\sim R\) 之间（包含 \(L\) 和 \(R\)），其中有多少个数既是回文数又是质数。请你帮助小猴解答他疑惑。

【输入】

一行两个整数 \(L\)，\(R\)。

【输出】

一行一个整数，表示在 \(L\sim R\) 之间（包含 \(L\) 和 \(R\)），其中有多少个数既是回文数又是质数。

【输入样例】

7 11

【输出样例】

2

【核心思想】

1. 问题分析：给定区间 \([L, R]\)，统计其中既是回文数又是质数的数的个数。这是一个回文数构造 + 质数判定问题，关键在于高效生成回文数而非遍历整个区间，再对每个回文数判断是否为质数。

2. 算法选择：

   • 回文数构造：通过"前半部分 + 镜像"的方式生成回文数，避免遍历全部数字
   • 质数判定：对每个生成的回文数，用试除法到 \(\sqrt{x}\) 判断是否为质数
   • 奇偶长度分类：分别构造奇数长度和偶数长度的回文数

3. 关键步骤：

   • 初始化：读取 \(L\) 和 \(R\)
   • 回文数构造（遍历 \(i\) 从 \(0\) 到 \(999\)）：
     • 奇数长度回文：work(i, i)，将 \(i\) 作为前半部分，镜像拼接。例如 \(i = 123\)，生成 \(12321\)
     • 偶数长度回文：work(10 * i + j, i)，在 \(i\) 和镜像之间插入中间数字 \(j\)（\(0 \leq j \leq 9\)）。例如 \(i = 12, j = 3\)，生成 \(12321\)
   • work 函数：
     • 将后半部分 \(b\) 的数字反向添加到 \(a\) 后面，构造完整回文数
     • 若回文数在 \([L, R]\) 内且是质数：ans++
   • 质数判定 isprime(x)：
     • 若 \(x \leq 1\)：返回 false
     • 遍历 \(i\) 从 \(2\) 到 \(\sqrt{x}\)：若 \(x \bmod i = 0\) 则返回 false
     • 否则返回 true
   • 输出 ans

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(1000 \times 10 \times \sqrt{R})\)，生成约 \(10000\) 个回文数，每个质数判定 \(O(\sqrt{R})\)
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅需常数变量

5. 回文数构造的核心思想：

   • 生成优于枚举：直接构造回文数的数量远小于区间内的数字总数（尤其大区间时），大幅降低搜索空间
   • 镜像拼接：回文数的前半部分唯一确定整个数，通过数字反转和拼接实现构造
   • 奇偶分类：奇数长度回文有中心数字，偶数长度无中心数字，分别用 work(i, i) 和 work(10*i+j, i) 覆盖
   • 范围过滤：构造后立即检查是否在 \([L, R]\) 内，避免无效质数判定
   • 适用于"回文数 + 其他约束"的计数问题，构造法将线性枚举优化为对数级生成

【算法标签】

质数

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int l, r, ans;  // 查询区间[l,r]，答案ans

// 判断素数
bool isprime(int x)
{
    if (x <= 1) return false;  // 小于等于1不是素数
    for (int i = 2; i * i <= x; i++)  // 检查到√x
    {
        if (x % i == 0) return false;  // 有因数，不是素数
    }
    return true;  // 是素数
}

// 构造回文数并判断
int work(int a, int b)
{
    while (b > 0)  // 将b的数字反向添加到a后面
    {
        a = a * 10 + b % 10;  // 将b的最后一位加到a
        b /= 10;  // 去掉b的最后一位
    }
    // 检查a是否在区间内且是素数
    if (l <= a && a <= r && isprime(a) == true)
    {
        return 1;  // 满足条件
    }
    else
    {
        return 0;  // 不满足条件
    }
}

signed main()
{
    cin >> l >> r;  // 输入查询区间

    // 生成所有可能的回文数
    for (int i = 0; i < 1000; i++)  // 生成3位数以内的回文基础
    {
        // 奇数长度回文：work(i, i) 如12321
        ans += work(i, i);

        // 偶数长度回文：work(10*i+j, i) 如123321
        for (int j = 0; j <= 9; j++)  // 中间插入数字j
        {
            ans += work(10 * i + j, i);
        }
    }
    cout << ans << endl;  // 输出结果
    return 0;
}

【运行结果】

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