题解：学而思编程 第K个约数

【题目来源】

学而思编程：第K个约数

【题目描述】

小猴最近在学习约数，课后猴帅老师给小猴布置了一个任务：有 \(n\) 个正整数 \(a_1,a_2,…,a_n\)​，这些数的和记为 \(m\)，请你找出 \(m\) 的约数中从小到大的第 \(k\) 个约数。

【输入】

第一行包含两个整数 \(n,k\)。

第二行包含 \(n\) 个整数 \(a_1,a_2,…,a_n\)​。

【输出】

输出一个整数，表示 \(m\) 的约数中从小到大的第 \(k\) 个约数，如果 \(m\) 不存在第 \(k\) 个约数输出 \(−1\)。

【输入样例】

5 3
1 2 3 4 5

【输出样例】

5

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 个正整数，求它们的和 \(m\)，然后找出 \(m\) 的第 \(k\) 个约数（从小到大排序）。这是一个因子枚举 + 配对收集 + 排序问题，关键在于利用因子配对性质高效枚举所有约数，再排序取第 \(k\) 个。

2. 算法选择：

   • 求和：先计算 \(m = a_1 + a_2 + \ldots + a_n\)
   • 因子配对枚举：遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \(\sqrt{m}\)，若 \(i \mid m\) 则同时记录 \(i\) 和 \(m/i\)
   • 排序查询：将所有因子排序后取第 \(k\) 个

3. 关键步骤：

   • 初始化：读取 \(n\) 和 \(k\)
   • 计算总和：
     • m = 0
     • 遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)：
       • 读取 \(x\)
       • m += x
   • 枚举因子：
     • cnt = 0
     • 遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \(\sqrt{m}\)（即 1ll * i * i <= m）：
       • 若 m % i == 0：
         • p[++cnt] = i：记录小因子
         • 若 i != m / i：p[++cnt] = m / i：记录配对的大因子（避免重复）
   • 排序并查询：
     • sort(p + 1, p + cnt + 1)：所有因子升序排序
     • 若 k <= cnt：返回 p[k]
     • 否则：返回 \(-1\)
   • 输出结果

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(\sqrt{m} \log \sqrt{m})\)，枚举 \(O(\sqrt{m})\)，排序 \(O(d \log d)\)（\(d\) 为因子个数）
   • 空间复杂度：\(O(d)\)，存储因子数组

5. 因子配对枚举的核心思想：

   • 配对性质：若 \(i\) 是 \(m\) 的因子，则 \(m/i\) 也是因子。只需枚举到 \(\sqrt{m}\) 即可找到所有因子对，将 \(O(m)\) 降为 \(O(\sqrt{m})\)
   • 去重处理：当 \(m\) 为完全平方数时，\(i = m/i\)，需用 if (i != m/i) 避免重复记录
   • 离线排序：收集所有因子后统一排序，确保从小到大取第 \(k\) 个
   • 边界判断：因子总数可能少于 \(k\)，需检查 k <= cnt 否则返回 \(-1\)
   • 适用于"因子枚举 + 排序查询"类问题，配对枚举是经典优化策略

【算法标签】

约数

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100005;  // 定义最大数组长度
int n, k;  // 数组元素个数n，查询第k个因子
long long m, p[N];  // 总和m，因子数组p

long long kth()  // 查找第k个因子的函数
{
    int cnt = 0;  // 因子计数器
    for (int i=1; 1ll*i*i<=m; i++)  // 枚举可能的因子
    {
        if (m%i==0)  // 如果i是m的因子
        {
            p[++cnt] = i;  // 记录因子i
            if (i!=m/i) p[++cnt] = m/i;  // 记录配对的因子（如果不同）
        }
    }
    sort(p+1, p+cnt+1);  // 对所有因子进行排序
    if (k<=cnt) return p[k];  // 如果存在第k个因子，返回它
    return -1;  // 否则返回-1表示不存在
}
int main()  // 主函数
{
    scanf("%d%d", &n, &k);  // 输入元素个数n和查询的k
    for (int i=1; i<=n; i++)  // 读取所有元素
    {
        int x;  // 临时变量存储每个元素
        scanf("%d", &x);  // 输入一个元素
        m += x;  // 累加到总和m
    }
    printf("%lld\n", kth());  // 输出第k个因子
    return 0;  // 程序正常结束
}

【运行结果】

5 3
1 2 3 4 5
5