题解：学而思编程 计算因质数

【题目来源】

学而思编程：计算因质数

【题目描述】

小猴非常喜欢研究数学问题，这天他学习了质因数的定义，觉得很有意思，他想每个大于 \(1\) 的数 \(x\) 都会有若干的质因数，如果把 \(x\) 的质因数乘起来会有什么规律和特殊的性质么？他把这个乘积定义为“因质数”，决定深入研究一下，那第一步就是先把每个数的“因质数”求出来。

现在给出 \(N\) 个正整数，求出每个数的因质数是多少。

【输入】

第一行一个正整数 \(N\)，表示数的个数；

第二行 \(N\) 个正整数 \(X_1,X_2,\dots,X_N\)。

【输出】

一行用空格隔开的 \(N\) 个正整数，分别表示 $ X_1,X_2,\dots,X_N$ [的因质数。

【输入样例】

2
8 13

【输出样例】

2 13

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(N\) 个正整数，求每个数的"因质数"——即该数所有不同质因数的乘积。例如 \(8 = 2^3\)，质因数为 \(\{2\}\)，因质数为 \(2\)；\(13\) 是质数，因质数为 \(13\)。这是一个筛法预处理 + 质因数分解问题，关键在于利用类似埃氏筛的方法，预处理每个数的最小质因数并累乘不同质因数。

2. 算法选择：

   • 线性筛思想：遍历每个质数 \(i\)，将 \(i\) 的倍数中尚未被赋值或需要乘上 \(i\) 的位置更新
   • 预处理标记：f[x] 存储 \(x\) 的所有不同质因数的乘积

3. 关键步骤：

   • 预处理函数 init()：
     • 遍历 \(i\) 从 \(2\) 到 \(10^6\)：
       • 若 f[i] == 0（\(i\) 是质数）：
         • 遍历 \(j\) 从 \(i\) 到 \(10^6\)，步长 \(i\)（\(i\) 的所有倍数）：
           • 若 f[j] == 0：f[j] = i（首次遇到质因数，赋值）
           • 否则：f[j] *= i（累乘新的质因数）
   • 主函数：
     • 调用 init() 预处理
     • 读取 \(N\)
     • 遍历每个数 \(x\)：输出 f[x]

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(V \log \log V)\)，\(V = 10^6\)，类似埃氏筛的复杂度
   • 空间复杂度：\(O(V)\)，预处理数组 f[1..V]

5. 筛法预处理的核心思想：

   • 质因数乘积的累积性：每个合数的因质数等于其所有不同质因数的乘积。当用质数 \(i\) 筛其倍数时，若该倍数首次被筛则赋值 \(i\)，否则乘上 \(i\)，确保每个质因数只贡献一次
   • 最小质因数优先：由于从小到大遍历，每个数第一次被赋值的是其最小质因数，后续更大的质因数通过 *= 累乘
   • 离线预处理：值域固定为 \(10^6\)，与查询无关，预先计算所有数的因质数，查询时 \(O(1)\) 输出
   • 重复质因数处理：f[j] == 0 的判断确保同一质因数的幂次只乘一次，实现"不同质因数"的要求
   • 适用于"多查询 + 固定值域质因数统计"类问题，筛法预处理将每次查询优化到常数时间

【算法标签】

质数

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 预处理
int n, x, f[1000005];
void init()
{
    for (int i=2; i<=1000000; i++) {  // 计算质因数模板
        if (f[i]==0) {  // 如果f[i]没有数字
            for (int j=i; j<=1000000; j+=i) {  // 从2遍历到1000000，按i的倍数步进
                if (f[j]==0) f[j] = i;  // 将每个f[j]初始化为i，如2，3，5...。
                else f[j] *= i;  // 然后每次计算，乘上i这个质数（因为有了f[i]==0判断，即乘以过i的不再乘i）
            }
        }
    }
}
int main()
{
    init();  // 预处理每个数的质因数乘积
    cin >> n;
    while (n--) {
        scanf("%d", &x);
        printf("%d ", f[x]);
    }
    return 0;
}

【运行结果】

2
8 13
2 13