题解：学而思编程数字和为x的整数

【题目来源】

学而思编程：数字和为x的整数

【题目描述】

给定一个正整数 \(n\)，请从小到大依次输出在 \(1∼n\) 之间（包含 \(1\) 和 \(n\)）所有的整数中，各位数字和为 \(x\) 的整数，并统计其出现个数。

【输入】

一行，两个空格隔开正整数 \(n,x\)。

【输出】

若干行，每行一个整数，表示各位数字和为 \(x\) 的整数。

最后一行一个整数，表示各位数字和为 \(x\) 的整数出现的个数。

如果不存在各位数字和为 \(x\) 的整数，那么只需要输出 \(−1\)。

【输入样例】

1000 26

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定正整数 \(n\) 和 \(x\)，找出 \(1\) 到 \(n\) 中所有各位数字和等于 \(x\) 的整数，从小到大输出并统计个数。这是一个深度优先搜索 + 剪枝问题，关键在于按位数生成数字，并通过数字和与数值上限进行剪枝。
算法选择：
- DFS 按位生成：从最高位到最低位逐位确定数字，生成所有不超过 \(n\) 位数长度的数字
- 双重剪枝：当前数值超过 \(n\) 时剪枝；当前数字和超过 \(x\) 时剪枝
- 标记去重：用 vis 数组标记已找到的数字，避免重复
关键步骤：
- 初始化：读取 \(n\) 和 \(x\)，计算 \(n\) 的位数 len
- DFS 搜索（dfs(step)）：
  - 计算当前已生成数字的数值 sum 和各位数字之和 res
  - 若 sum > n：剪枝返回
  - 若 res > x：剪枝返回
  - 若 step == len（已生成完整位数）：
    - 若 res == x 且 !vis[sum]：找到符合条件的数字，cnt++，标记 vis[sum] = true
    - 返回
  - 遍历当前位 \(i\) 从 \(0\) 到 \(9\)：
    - path[step] = i
    - dfs(step + 1)
- 输出结果：
  - 若 cnt == 0：输出 \(-1\)
  - 否则：输出所有符合条件的数字，最后输出 cnt
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(10^{len})\)，最坏情况遍历所有 \(len\) 位数，但剪枝大幅优化
- 空间复杂度：\(O(len)\)，递归深度为 len
DFS 剪枝的核心思想：
- 按位生成：从高位到低位逐位确定，天然保证生成数字的递增顺序（配合输出时排序或按序存储）
- 数值上限剪枝：当前前缀已大于 \(n\) 时，后续任何填充都会超出范围，直接返回
- 数字和剪枝：当前数字和已超过 \(x\) 时，后续添加非负数字只会更大，不可能等于 \(x\)，直接返回
- 位数控制：只生成 len 位数字，避免短数字的重复生成（如 \(089\) 与 \(89\)）
- 适用于"数位约束下的数字枚举"类问题，DFS 配合剪枝可高效搜索解空间

【算法标签】

DFS-一维

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 10;  // 定义最大数字长度
int n, x, len, cnt;  // n: 上限数字，x: 目标数字和，len: n的位数，cnt: 符合条件的数字计数
int path[N];        // 记录当前生成的数字各位
int str[N];         // 存储符合条件的数字（实际未使用完整功能）
bool vis[2000005];  // 标记数字是否已被记录（去重）

// 深度优先搜索生成所有可能的数字
void dfs(int step) {
    // 计算当前已生成的部分数字的值
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i < step; i++) {
        sum = sum * 10 + path[i];
    }
    // 剪枝：如果当前数字已超过上限n，停止搜索
    if (sum > n) return;

    // 计算当前数字各位之和
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < step; i++) {
        res += path[i];
    }
    // 剪枝：如果当前数字各位之和已超过x，停止搜索
    if (res > x) return;

    // 如果生成了完整位数的数字，检查是否满足条件
    if (step == len) {
        if (res == x && !vis[sum]) {  // 数字和等于x且未被记录
            cnt++;
            str[cnt] = sum;  // 存储符合条件的数字
            vis[sum] = true;  // 标记该数字已记录
        }
        return;
    }

    // 递归生成下一位数字（0-9）
    for (int i = 0; i <= 9; i++) {
        path[step] = i;
        dfs(step + 1);
    }
}

// 计算数字n的位数
int calc(int n) {
    int res = 0;
    while (n) {
        res++;
        n /= 10;
    }
    return res;
}

int main() {
    cin >> n >> x;  // 输入上限数字n和目标数字和x
    len = calc(n);  // 计算n的位数

    dfs(0);  // 从第0位开始生成数字

    if (cnt == 0) {
        cout << -1 << endl;  // 没有符合条件的数字
    } else {
        // 输出所有符合条件的数字（注意：这里str数组只存储了最后一个数字）
        for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
            cout << str[i] << endl;
        }
        cout << cnt << endl;  // 输出符合条件的数字总数
    }

    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-07-05 14:34 团爸讲算法阅读(7) 评论(0) 收藏举报

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DFS-一维

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