题解：学而思编程 整除子数组

【题目来源】

学而思编程：整除子数组

【题目描述】

给定一个长度为 \(n\) 的整数数组 \(a_1,a_2,\dots,a_n\)，保证 \(0\le a_i\le 9\)。其中子数组 \(a_l\sim a_r\) 组成的整数为 \(num=a_l\times 10^{r-l}+a_{l+1}\times 10^{r-l-1}+\cdots + a_r\)，请你计算能够被 \(4\) 整除的 \(a\) 数组的子数组的数量，子数组可以包含前导 \(0\)。

例如，如果数组 \(a=\{1,2,4\}\)，则满足条件的子数组有 \(4\) 个：\(\{1,2\}\)，\(\{4\}\)，\(\{2,4\}\)，\(\{1,2,4\}\)；如果数组 \(a=\{0,4\}\)，则满足条件的子数组有 \(3\) 个：\(\{0\}\)，\(\{4\}\)，\(\{0,4\}\)。

提示：若一个整数的末尾两位数能被 \(4\) 整除，则这个数能被 \(4\) 整除，例如 \(124\) 的末两位 \(24\%4==0\)，所以 \(124\) 能被 \(4\) 整除。

【输入】

第一行一个整数 \(n\)；

第二行 \(n\) 个整数 \(a_1,a_2,\dots,a_n\)。

【输出】

一行一个整数，表示满足条件的子数组数量。

【输入样例】

3
1 2 4

【输出样例】

4

【核心思想】

1. 问题分析：给定长度为 \(n\) 的数组 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)（\(0 \leq a_i \leq 9\)），求有多少个子数组构成的整数能被 \(4\) 整除。利用数学性质：一个数能被 \(4\) 整除当且仅当它的末两位能被 \(4\) 整除。这是一个数学性质 + 分类计数问题。

2. 算法选择：

   • 单元素判断：长度为 \(1\) 的子数组，直接判断 \(a_i \bmod 4 = 0\)
   • 末两位判断：长度 \(\geq 2\) 的子数组，只需判断由末两位 \(a_{i-1}a_i\) 组成的两位数是否能被 \(4\) 整除

3. 关键步骤：

   • 初始化：读取 \(n\) 和数组 \(a[1..n]\)
   • ans = 0
   • 遍历每个位置（\(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)）：
     • 单元素子数组：
       • 若 \(a_i \bmod 4 = 0\)：ans++（单个 \(a_i\) 能被 \(4\) 整除）
     • 长度 \(\geq 2\) 的子数组（\(i > 1\)）：
       • 若 \((a_{i-1} \times 10 + a_i) \bmod 4 = 0\)：
         • ans += (i - 1)：以 \(a_{i-1}a_i\) 为末两位的所有子数组都满足条件，前缀有 \(i-1\) 个选择（起始位置可以是 \(1\) 到 \(i-1\)）
   • 输出 ans

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n)\)，线性遍历
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，存储数组

5. 数学性质的核心思想：

   • 4 的整除判定：一个整数能被 \(4\) 整除当且仅当它的末两位组成的数能被 \(4\) 整除。因此长度 \(\geq 2\) 的子数组只需关注末两位
   • 前缀扩展性：若末两位 \(a_{i-1}a_i\) 能被 \(4\) 整除，则所有以这两位结尾的子数组（起始位置从 \(1\) 到 \(i-1\)）都满足条件，共 \(i-1\) 个
   • 单元素特殊处理：长度为 \(1\) 时无"末两位"，需单独判断 \(a_i \bmod 4\)
   • 前导零无关：子数组可包含前导零，不影响数值计算和整除判定
   • 适用于"末位整除性质 + 子数组计数"类问题，数学性质将复杂枚举简化为线性扫描

【算法标签】

数学

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1000010];  // 存储数字数组
int main()
{
    int n;
    cin >> n;  // 输入数字个数
    long long ans = 0;  // 使用long long防止溢出

    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 遍历每个数字
    {
        cin >> a[i];  // 输入当前数字

        // 单个数字能被4整除
        if (a[i] % 4 == 0)
        {
            ans++;
        }

        // 与前一个数字组成的两位数能被4整除
        if (i > 1 && (a[i - 1] * 10 + a[i]) % 4 == 0)
        {
            ans += (i - 1);  // 加上前缀子数组个数
        }
    }
    cout << ans << endl;  // 输出结果
    return 0;
}

【运行结果】

3
1 2 4
4