题解：学而思编程 数位排序

【题目来源】

学而思编程：数位排序

【题目描述】

小猴对一个数的数位之和很感兴趣，今天他要按照数位之和给序列\(a_1,a_2,\dots,a_n\)排序。当两个数各个数位之和不同时，将数位和较小的排在前面，当数位之和相等时，将数值小的排在前面，保证所有整数互不相同。

例如，\(1001\) 排在 \(99\) 前面，因为 \(1001\) 的数位之和是 \(2\)，而 \(99\) 的数位之和 \(18\)。

又如，\(2\) 排在 \(101\) 前面，因为它们的数位之和相同，而 \(2\) 小于 \(101\)。

请你帮助小猴完成这个任务。

【输入】

第一行，包含一个正整数 \(n\)；

第二行，包含 \(n\) 个正整数 \(a_1,a_2,\dots,a_n\)。

【输出】

一行，空格隔开的 \(n\) 个整数，表示排序之后的序列。

【输入样例】

5
2 4 1 5 3

【输出样例】

1 2 3 4 5

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 个互不相同的正整数，要求按数位和升序排序，数位和相同时按数值大小升序排序。这是一个自定义排序问题，关键在于设计比较函数，先比较数位和，再比较原数值。

2. 算法选择：

   • 数位和计算：通过取模和除法逐位求和
   • 自定义比较函数：cmp(x, y) 先比较 cal(x) 与 cal(y)，相等时比较 x 与 y
   • 标准排序：使用 sort 配合自定义比较函数

3. 关键步骤：

   • 初始化：读取 \(n\) 和数组 \(a[1..n]\)
   • 数位和函数 cal(x)：
     • sum = 0
     • 当 x > 0 时循环：
       • sum += x % 10：累加末位数字
       • x /= 10：去掉末位
     • 返回 sum
   • 自定义比较函数 cmp(x, y)：
     • 若 cal(x) != cal(y)：返回 cal(x) < cal(y)（数位和小的排前面）
     • 否则：返回 x < y（数位和相等时，数值小的排前面）
   • 排序并输出：
     • sort(a + 1, a + n + 1, cmp)：按自定义规则排序
     • 输出排序后的数组

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \log n \times d)\)，\(d\) 为数字位数（数位和计算），排序 \(O(n \log n)\)，每次比较 \(O(d)\)
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，存储数组

5. 自定义排序的核心思想：

   • 多级排序键：第一关键字为数位和，第二关键字为原数值，比较函数按优先级依次判断
   • 稳定排序替代：若使用稳定排序，可先按数值排序，再按数位和排序；但自定义比较函数更直接高效
   • 数位和计算：利用十进制特性，通过 %10 和 /10 逐位分离，适用于任意正整数
   • 互异性保证：题目保证所有整数互不相同，避免了相等元素时的排序歧义
   • 适用于"多关键字排序"类问题，自定义比较函数是 C++ 中实现复杂排序规则的标准方法

【解题思路】

【算法标签】

其他排序

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, a[100005];
int cal(int x)  // 计算数位和
{
    int sum = 0;
    while (x>0) {
        sum += x%10;
        x /= 10;
    }
    return sum;
}

bool cmp (int x, int y)
{
    if (cal(x)!=cal(y)) {  // 数位和不同时
        return cal(x)<cal(y);  // 小的排前面
    }
    return x < y;  // 否则数值小的排前面
}
int main()
{
    cin >> n;
    for (int i=1; i<=n; i++) cin >> a[i];  // 输入n个数
    sort(a+1, a+n+1, cmp);  // 按照自定义方式排序
    for (int i=1; i<=n; i++) cout << a[i] << " ";
    return 0;
}

【运行结果】

5
2 4 1 5 3
1 2 3 4 5