题解：学而思编程懒惰的牛

【题目来源】

学而思编程：懒惰的牛

【题目描述】

这是一个炎热的夏日。懒洋洋的奶牛贝茜想将自己放置在田野中的某个位置，以便可以在短距离内尽可能多地吃到美味的草。

贝茜所在的田野中共有 \(N\) 片草地，我们可以将田野视作一个一维数轴。第 \(i\) 片草地中包含 \(g_i\) 单位的青草，位置坐标为 \(x_i\)。不同草地的位置不同。

贝茜想选取田野中的某个点作为她的初始位置（可能是某片草地所在的点）。只有一片草地与她的初始位置的距离不超过 \(K\) 时，贝茜才能吃到那片草地上的草。

如果贝茜选择最佳初始位置，请确定她可以吃到的青草最大数量。

【输入】

第一行包含两个整数 \(N\) 和 \(K\)。

接下来 \(N\) 行，每行描述一片草地，包含两个整数 \(g_i\) 和 \(x_i\)。

【输出】

输出如果贝茜选择最佳初始位置，则她可以吃到的青草最大数量。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定 \(N\) 片草地，每片有位置 \(x_i\) 和草量 \(g_i\)。贝茜选择初始位置，可吃到距离不超过 \(K\) 的所有草地。求最大可吃草量。这是一个坐标离散化 + 前缀和 + 滑动窗口问题，关键在于将草地按位置排序后，用前缀和快速计算任意区间内的草量总和。
算法选择：
- 坐标映射：将草地位置映射到数组下标（\(x_i + 1\) 避免 \(0\)），草量存入对应位置
- 前缀和预处理：s[i] 表示位置 \(1\) 到 \(i\) 的累计草量
- 区间最值枚举：枚举每个位置作为中心，用前缀和 \(O(1)\) 计算覆盖区间 \([i-K, i+K]\) 的草量
关键步骤：
- 初始化：读取 \(N\)（草地数）和 \(K\)（最大距离）
- 坐标映射与草量存储：
  - len = 0
  - 遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \(N\)：
    - 读取 \(g_i\) 和 \(x_i\)
    - a[x_i + 1] = g_i：位置偏移 \(+1\) 使下标从 \(1\) 开始
    - len = max(len, x_i + 1)：记录最大坐标
- 计算前缀和：
  - 遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 len：
    - s[i] = s[i-1] + a[i]
- 枚举中心位置：
  - ans = 0
  - 遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 len：
    - l = max(1, i - K)：覆盖区间左端点
    - r = min(i + K, len)：覆盖区间右端点
    - sum = s[r] - s[l-1]：区间 \([l, r]\) 内的草量
    - ans = max(ans, sum)：更新最大值
- 输出 ans
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(N + V)\)，\(V\) 为最大坐标值，坐标映射 \(O(N)\)，前缀和 \(O(V)\)，枚举 \(O(V)\)
- 空间复杂度：\(O(V)\)，草量数组 a[1..len] 和前缀和数组 s[1..len]
前缀和区间查询的核心思想：
- 一维覆盖模型：贝茜的覆盖范围是中心点左右各 \(K\) 的区间，问题转化为求所有长度为 \(2K+1\) 的滑动窗口中的最大元素和
- 坐标离散化：将稀疏的草地位置映射到连续数组下标，前缀和可在离散化后的坐标上直接计算
- 边界裁剪：max(1, i-K) 和 min(i+K, len) 处理区间越界，保证查询合法
- 枚举最优性：覆盖区间的最优中心必然在某片草地位置或附近，枚举所有位置不会遗漏最优解
- 适用于"一维区间覆盖 + 权重求和最大化"类问题，前缀和将区间查询优化到 \(O(1)\)

【算法标签】

前缀和

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;

int a[N], s[N];  // a数组记录每个位置的冰淇淋数量，s数组是前缀和

int main()
{
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    int len = 0;  // 记录最大的位置坐标
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int g, x;
        cin >> g >> x;
        a[x + 1] = g;  // 位置从1开始，所以x+1
        len = max(len, x + 1);  // 更新最大位置
    }
    // 计算前缀和
    for (int i = 1; i <= len; i++)
    {
        s[i] = s[i - 1] + a[i];
    }
    int ans = 0;
    // 遍历每个位置作为中心
    for (int i = 1; i <= len; i++)
    {
        // 计算覆盖范围
        int l = max(1, i - k), r = min(i + k, len);
        // 使用前缀和快速计算区间和
        int sum = s[r] - s[l - 1];
        ans = max(ans, sum);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-07-05 14:20 团爸讲算法阅读(6) 评论(0) 收藏举报

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题解：学而思编程 懒惰的牛

前缀和

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