题解：学而思编程 斐波那契字符串

【题目来源】

学而思编程：斐波那契字符串

【题目描述】

斐波那契数列指的是这样一个数列：\(1\)、\(1\)、\(2\)、\(3\)、\(5\)、\(8\)、\(13\)、\(21\)、\(34\)、......

在数学上，斐波那契数列以如下递推的形式定义：\(F(0)=1\)，\(F(1)=1\),\(F(n)=F(n−1)+F(n−2)（n≥2）\)。

如果一个数出现在斐波那契数列之中，那么我们就称这个数为斐波那契数。

现在，给定一个整数 \(n\)，请你构造一个长度为 \(n\) 的字符串 \(s_1s_2\dots s_n\)。

对于字符串中的第 \(i\) 个字符 \(s_i\)：

• 如果 \(i\) 是斐波那契数，则 \(s_i\) 为大写字母 O。
• 如果 \(i\) 不是斐波那契数，则 \(s_i\) 为小写字母 o。

输出构造好的字符串。

注意，字符下标从 \(1\) 到 \(n\)。

【输入】

一行一个整数 \(n\)。

【输出】

一个字符串，表示答案。

【输入样例】

3

【输出样例】

OOO

【核心思想】

1. 问题分析：给定整数 \(n\)，构造长度为 \(n\) 的字符串，其中第 \(i\) 位为 O（大写）当且仅当 \(i\) 是斐波那契数，否则为 o（小写）。这是一个斐波那契数生成 + 标记数组问题，关键在于高效生成不超过 \(n\) 的所有斐波那契数并标记。

2. 算法选择：

   • 递推生成斐波那契数：利用 \(F(i) = F(i-1) + F(i-2)\) 递推，直到超过 \(n\)
   • 布尔标记数组：flag[i] = true 表示 \(i\) 是斐波那契数，实现 \(O(1)\) 查询

3. 关键步骤：

   • 初始化：读取 \(n\)
   • 斐波那契数列生成：
     • f[0] = 1, f[1] = 1，flag[1] = true（\(1\) 是斐波那契数）
     • 遍历 \(i\) 从 \(2\) 开始，直到 f[i-1] > n：
       • f[i] = f[i-1] + f[i-2]
       • 若 f[i] <= n：flag[f[i]] = true
   • 构造字符串：
     • 遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)：
       • 若 flag[i] == true：输出 O
       • 否则：输出 o

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(\log n + n)\)，斐波那契数增长指数级，不超过 \(n\) 的项数为 \(O(\log n)\)，构造字符串 \(O(n)\)
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，标记数组 flag[1..n]

5. 递推标记的核心思想：

   • 斐波那契数的稀疏性：斐波那契数列指数增长，不超过 \(n\) 的项数约为 \(O(\log n)\)，递推生成非常高效
   • 标记数组查询优化：生成时直接标记，后续查询 \(O(1)\)，避免每次判断时重新计算或查找
   • 下标从1开始：题目明确字符下标从 \(1\) 到 \(n\)，与斐波那契数的自然数定义一致
   • 重复值处理：\(F(0) = F(1) = 1\)，但标记数组只关心是否出现，重复不影响结果
   • 适用于"数列判定 + 序列构造"类问题，递推生成配合标记数组是经典组合

【算法标签】

递推

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, f[50];  // f: 存储斐波那契数列
bool flag[100005];  // flag: 标记是否是斐波那契数

int main()
{
    cin >> n;
    f[0] = 1, f[1] = 1;  // 初始化斐波那契数列
    flag[1] = true;  // 1是斐波那契数

    // 生成不超过n的斐波那契数列
    for (int i = 2; f[i - 1] <= n; i++)
    {
        f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
        flag[f[i]] = true;  // 标记斐波那契数
    }

    // 输出序列：斐波那契数输出"O"，否则输出"o"
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (flag[i] == true)
        {
            cout << "O";
        }
        else
        {
            cout << "o";
        }
    }
    return 0;
}

【运行结果】

3
OOO