题解：学而思编程 Z字形加密

【题目来源】

学而思编程：Z字形加密

【题目描述】

在密码学中，我们称需要加密的信息为明文，用 \(M\) 表示；称加密后的信息为密文，用 \(C\) 表示；而密钥是一种参数，是将明文转换为密文或将密文转换为明文的算法中输入的数据，记为 \(k\)。

猴博士设计了一种加密算法：Z字形加密。其加密原理如下：

明文 \(M\) 是一个只包含大小字母和数字的字符串，将明文根据密钥 \(k\) 从上往下、从左到右进行Z字形排列成 \(k\) 行。

例如明文 \(M\) = "\(YouAreLucky\)"，密钥 \(k = 3\) 时，排列如下：

然后把排列出的字符串从上往下、从左到右依连接成一个新的字符串，即为经过加密之后的密文。上述例子最终的密文为 "\(YrcoAeukuLy\)"。

【输入】

第一行一个字符串 \(M\)，表示输入的明文信息；

第二行一个整数 \(k\)，表示密钥参数。

【输出】

一行一个字符串 \(C\)，表示经过加密之后的密文信息。

【输入样例】

YouAreLucky
3

【输出样例】

YrcoAeukuLy

【核心思想】

1. 问题分析：给定明文字符串 \(M\) 和密钥 \(k\)，将字符按 Z 字形（从上到下、再从下到上）排列成 \(k\) 行，然后按行优先顺序连接得到密文。这是一个方向模拟 + 分层存储问题，关键在于模拟 Z 字形排列过程，将字符按行分组存储后输出。

2. 算法选择：

   • 方向状态机：维护当前行索引 \(j\) 和移动方向 flag（向下/向上）
   • 分层存储：用 \(k\) 个向量分别存储每行的字符
   • 边界转向：到达第 \(0\) 行或第 \(k-1\) 行时改变方向

3. 关键步骤：

   • 初始化：
     • 读取明文 \(M\) 和密钥 \(k\)
     • n = M.size()：字符串长度
     • 创建 \(k\) 个空向量 a[0..k-1]
     • flag = 1：初始方向向下，j = 0：初始在第 \(0\) 行
   • Z 字形排列（遍历 \(i\) 从 \(0\) 到 \(n-1\)）：
     • a[j].push_back(M[i])：将当前字符放入第 \(j\) 行
     • 若 flag == 1（向下移动）：
       • 若 j < k-1：j++（继续向下）
       • 否则：j--，flag = 0（到达底部，转向向上）
     • 否则（flag == 0，向上移动）：
       • 若 j > 0：j--（继续向上）
       • 否则：j++，flag = 1（到达顶部，转向向下）
   • 按行输出密文：
     • 遍历 \(i\) 从 \(0\) 到 \(k-1\)：
       • 遍历 a[i] 中所有字符并输出

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n)\)，每个字符处理一次，输出一次
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，所有字符存储在 \(k\) 个向量中

5. Z 字形排列的核心思想：

   • 周期性移动：行索引 \(j\) 在 \([0, k-1]\) 范围内呈周期性锯齿运动，周期为 \(2(k-1)\)（除 \(k=1\) 外）
   • 边界反弹：到达第 \(0\) 行或第 \(k-1\) 行时方向反转，模拟 Z 字的折返点
   • 行分组特性：同一行的字符在原字符串中的位置间隔为 \(2(k-1)\) 或交替为 \(2j\) 和 \(2(k-1-j)\)，但模拟法无需推导公式
   • 分层输出：按行优先连接时，每行内部字符保持原排列顺序，直接顺序输出即可
   • 适用于"Z 字形/蛇形排列"类问题，方向模拟直观易懂，也可通过数学公式直接计算每个字符的目标位置实现 \(O(1)\) 空间优化

【算法标签】

字符串入门

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    string M;  // 输入的字符串
    cin >> M;
    int k;  // 行数
    cin >> k;
    int n = M.size();  // 字符串长度

    vector<char> a[k];  // 每行存储的字符

    int flag = 1;  // 方向标志：1向下，0向上
    int i = 0;  // 字符索引
    int j = 0;  // 行索引

    while (i != n)  // 遍历所有字符
    {
        a[j].push_back(M[i]);  // 将字符放入对应行

        if (flag % 2 == 1)  // 向下移动
        {
            if (j != k - 1)  // 如果不是最后一行
            {
                j++;  // 向下移动
            }
            else  // 到达最后一行
            {
                if (j != 0)  // 如果不是第一行
                {
                    j--;  // 向上移动
                    flag = 0;  // 改变方向
                }
            }
        }
        else  // 向上移动
        {
            if (j != 0)  // 如果不是第一行
            {
                j--;  // 向上移动
            }
            else  // 到达第一行
            {
                if (j != k - 1)  // 如果不是最后一行
                {
                    j++;  // 向下移动
                    flag = 1;  // 改变方向
                }
            }
        }
        i++;  // 处理下一个字符
    }

    // 按行输出
    for (int i = 0; i < k; i++)
    {
        for (int j = 0; j < a[i].size(); j++)
        {
            cout << a[i][j];
        }
    }
    return 0;
}

【运行结果】

YouAreLucky
3
YrcoAeukuLy