题解：学而思编程 奇特的数

【题目来源】

题目来源：奇特的数

【题目描述】

给定一个 \(n \times n\) 的矩阵 \(a\)，其中第 \(i\) 行第 \(j\) 列的元素 \(a_{ij}\) 等于 \(i\times j(1 \le i,j \le n)\)。

现在，给定一个整数 \(m\)，请你计算 \(m\) 在矩阵中出现的次数。

【输入】

第一行一个整数 \(T\)，表示共有 \(T\) 组测试数据。

每组数据包含两个整数 \(n,m\)。

【输出】

每组数据输出一行一个结果，表示 \(m\) 在矩阵中出现的次数。

【输入样例】

2
3 6
3 3

【输出样例】

2
2

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n \times n\) 矩阵，其中 \(a_{ij} = i \times j\)（\(1 \leq i, j \leq n\)）。求整数 \(m\) 在矩阵中出现的次数。这是一个因子分解 + 约束计数问题，关键在于将矩阵元素转化为因子对，并统计满足条件的因子对数量。

2. 算法选择：

   • 因子对枚举：\(a_{ij} = m\) 等价于 \(i \times j = m\)，即 \((i, j)\) 是 \(m\) 的一对因子
   • 边界约束筛选：因子对需满足 \(1 \leq i \leq n\) 且 \(1 \leq j \leq n\)

3. 关键步骤：

   • 初始化：读取 \(T\)（测试组数）
   • 处理每组数据：
     • 读取 \(n\) 和 \(m\)
     • s = 0：计数器
     • 遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)：
       • 若 \(m \bmod i = 0\)（\(i\) 是 \(m\) 的因子）：
         • 令 \(j = m / i\)
         • 若 \(j \leq n\)（\(j\) 在矩阵列范围内）：
           • s++：因子对 \((i, j)\) 满足条件
     • 输出 s

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(T \times n)\)，每组数据遍历 \(1\) 到 \(n\)
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅需常数变量

5. 因子分解的核心思想：

   • 矩阵元素结构：\(a_{ij} = i \times j\) 将二维矩阵元素完全由行列下标的乘积决定，\(m\) 出现的次数等于 \(m\) 的因子对中两个因子均不超过 \(n\) 的对数
   • 单向枚举：固定 \(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)，则 \(j = m / i\) 唯一确定，只需验证 \(j\) 是否为整数且在范围内，避免 \(O(n^2)\) 的矩阵遍历
   • 对称性利用：因子对 \((i, j)\) 和 \((j, i)\) 对应矩阵中不同位置（除非 \(i = j\)），枚举 \(i\) 时自然覆盖所有情况
   • 提前终止条件：\(m \bmod i = 0\) 时才有必要计算 \(j\)，减少无效运算
   • 适用于"乘积矩阵 + 值查询"类问题，因子分解将二维搜索降为一维枚举

【算法标签】

数学

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int T;  // 测试用例数
    cin >> T;
    for (int p = 0; p < T; p++)  // 处理每个测试用例
    {
        long long n, m;
        cin >> n >> m;  // 输入n和m

        long long s = 0;  // 计数器
        for (int i = 1; i <= n; i++)  // 遍历i从1到n
        {
            if (m % i == 0 && m / i <= n)  // 条件判断
            {
                s++;  // 满足条件，计数加1
            }
        }
        cout << s << endl;  // 输出结果
    }
    return 0;
}

【运行结果】

2
3 6
2
3 3
2