题解：学而思编程 中心位置

【题目来源】

学而思编程：中心位置

【题目描述】

给定一个包含 \(n\) 个元素的数组 \(A={a_1,a_2,\ldots,a_n}\)，数组的中心位置如下定义：

中心位置是数组的一个下标 \(k\)（\(1\le k \le n\)），其左侧的所有元素之和 \(sum_l=a_1+a_2+ \ldots+a_{k-1}\) 等于右侧的所有元素之和 \(sum_r=a_{k+1} + a_{k+2}+\ldots+a_n\)。特别的 \(k=1\) 时 \(sum_l = 0\)；\(k=n\) 时 \(sum_r=0\)。

请你找到数组 \(A\) 的中心位置，如果有多个中心位置，输出最靠近左边的一个即可，如果不存在中心位置，输出 \(-1\)。

【输入】

第一行一个整数 \(n\)；

第二行 \(n\) 整数 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)。

【输出】

一行一个整数，表示数组 \(A\) 的中心位置。

【输入样例】

3
1 2 3

【输出样例】

-1

【核心思想】

1. 问题分析：给定长度为 \(n\) 的数组 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)，寻找中心位置 \(k\) 使得左侧元素之和等于右侧元素之和，即 \(\sum_{i=1}^{k-1} a_i = \sum_{i=k+1}^{n} a_i\)。若有多个输出最左边的，不存在则输出 \(-1\)。这是一个前缀和 + 线性扫描问题，关键在于利用前缀和快速计算左右两侧的和。

2. 算法选择：

   • 前缀和预处理：s[i] = a_1 + a_2 + \ldots + a_i，实现 \(O(1)\) 区间求和
   • 线性扫描枚举：遍历每个位置 \(k\)，用前缀和计算左右两侧和并比较

3. 关键步骤：

   • 初始化：读取 \(n\)（数组长度）和数组 \(a[1..n]\)
   • 计算前缀和：
     • s[0] = 0
     • 遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)：
       • s[i] = s[i-1] + a[i]
   • 枚举中心位置：
     • 遍历 \(k\) 从 \(1\) 到 \(n\)：
       • suml = s[k-1]：左侧元素之和 \(a_1 + \ldots + a_{k-1}\)
       • sumr = s[n] - s[k]：右侧元素之和 \(a_{k+1} + \ldots + a_n\)
       • 若 suml == sumr：输出 \(k\) 并结束程序（最左边的中心位置）
   • 若遍历结束未找到：输出 \(-1\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n)\)，前缀和计算 \(O(n)\)，扫描枚举 \(O(n)\)
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，前缀和数组 s[0..n]

5. 前缀和的核心思想：

   • 区间求和降维：前缀和 s[i] 存储前 \(i\) 项的累计和，任意区间 \([l, r]\) 的和可通过 s[r] - s[l-1] 在 \(O(1)\) 内计算
   • 边界统一处理：\(k = 1\) 时 suml = s[0] = 0，\(k = n\) 时 sumr = s[n] - s[n] = 0，无需特殊判断
   • 贪心最早满足：从左到右扫描，第一个满足条件的位置即为最左边的中心位置，找到后立即返回
   • 等价变形：条件 \(\sum_{i=1}^{k-1} a_i = \sum_{i=k+1}^{n} a_i\) 等价于 \(2 \times s[k-1] + a_k = s[n]\)，也可用于判断
   • 适用于"寻找平衡点/分割点"类问题，前缀和将 \(O(n)\) 的左右求和优化为 \(O(1)\)，线性扫描即可解决

【算法标签】

模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, a[100010], s[100010];
int main()
{
    cin >> n;  // 输入数组长度
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];  // 输入数组元素
        s[i] = s[i - 1] + a[i];  // 计算前缀和
    }

    // 遍历每个位置k，检查它是否是平衡点
    for (int k = 1; k <= n; k++)
    {
        int suml = s[k - 1];  // 左边元素的和：a[1]到a[k-1]
        int sumr = s[n] - s[k];  // 右边元素的和：a[k+1]到a[n]

        if (suml == sumr)  // 如果左右两边和相等
        {
            cout << k << endl;  // 输出平衡点位置
            return 0;  // 找到第一个就返回
        }
    }

    cout << -1 << endl;  // 没有找到平衡点
    return 0;
}

【运行结果】

3
1 2 3
-1