题解：学而思编程 区间外最大公约数

【题目来源】

学而思编程：区间外最大公约数

【题目描述】

给定一个长度为 \(n\) 的数列：\(a_1,a_2,\dots, a_n\)。现在有 \(q\) 个问题，其中第 \(i\) 个问题描述为：给定一个区间 \([l_i,r_i]\)，请你计算不包含字段\(a_{l_i},\dots,a_{r_i}\) 的其他数字的最大公约数是多少？

例如：假设数列为 \(6,7,5,91,4,12\)，那么区间 \([2,4]\) 以外的最大公约数为 \(gcd\{6,4,12\}=2\)。

【输入】

第一行两个正整数 \(n\)，\(q\)；

第二行 \(n\) 个正整数 \(a_1,\dots,a_n\)；

接着 \(q\) 行每行两个正整数 \(l_i,r_i\)。

【输出】

共 \(q\) 行，每行一个整数表示结果，保证有解。

【输入样例】

10 4
12 24 8 9 27 6 8 15 35 49
1 8
2 9
3 10
5 8

【输出样例】

7
1
12
1

【核心思想】

1. 问题分析：给定长度为 \(n\) 的数列 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)，\(q\) 次询问区间 \([l, r]\) 以外的所有元素的最大公约数。这是一个前缀 GCD + 后缀 GCD问题，关键在于利用 GCD 的结合律，将区间外元素的 GCD 分解为前缀和后缀两部分。

2. 算法选择：

   • 前缀 GCD 数组：lgcd[i] = gcd(a_1, a_2, \ldots, a_i)，表示前 \(i\) 个元素的 GCD
   • 后缀 GCD 数组：rgcd[i] = gcd(a_i, a_{i+1}, \ldots, a_n)，表示从第 \(i\) 个到第 \(n\) 个元素的 GCD
   • GCD 结合律：区间 \([l, r]\) 以外的 GCD = \(gcd(\text{前 } l-1 \text{ 个}, \text{后 } n-r \text{ 个}) = gcd(lgcd[l-1], rgcd[r+1])\)

3. 关键步骤：

   • 初始化：读取 \(n\)（数列长度）和 \(q\)（询问次数），读取数组 \(a[1..n]\)
   • 预处理前缀 GCD：
     • lgcd[0] = 0（\(gcd(0, x) = x\)，作为单位元）
     • 遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)：
       • lgcd[i] = gcd(lgcd[i-1], a_i)：前 \(i\) 个元素的 GCD
   • 预处理后缀 GCD：
     • rgcd[n+1] = 0
     • 遍历 \(i\) 从 \(n\) 到 \(1\)：
       • rgcd[i] = gcd(rgcd[i+1], a_i)：从第 \(i\) 个到第 \(n\) 个元素的 GCD
   • 处理 \(q\) 次询问：
     • 读取区间 \([l, r]\)
     • ans = gcd(lgcd[l-1], rgcd[r+1])：前缀 \([1, l-1]\) 与后缀 \([r+1, n]\) 的 GCD
     • 输出 ans

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \log V + q \log V)\)，\(V\) 为值域，预处理 \(O(n)\) 次 GCD，每次询问 \(O(1)\)
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，前缀 GCD 数组 lgcd[0..n] 和后缀 GCD 数组 rgcd[1..n+1]

5. 前缀后缀分解的核心思想：

   • GCD 结合律：\(gcd(A \cup B) = gcd(gcd(A), gcd(B))\)，区间外元素天然分为前缀 \([1, l-1]\) 和后缀 \([r+1, n]\) 两部分，两部分无交集
   • 离线预处理：前缀和后缀 GCD 与询问无关，可预先计算，使每次查询降为 \(O(1)\)
   • 边界处理：lgcd[0] = 0 和 rgcd[n+1] = 0 作为单位元，保证 \(l = 1\) 或 \(r = n\) 时公式依然成立（\(gcd(0, x) = x\)）
   • 查询独立性：每次询问只涉及两个预计算值的 GCD，与区间长度无关
   • 适用于"区间外统计 + 可结合运算"类问题，前缀后缀分解将 \(O(n)\) 的区间查询优化到 \(O(1)\)

【解题思路】

【算法标签】

约数

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[100005];
int lgcd[100005];
int rgcd[100005];
int gcd(int a, int b)
{
    if (b==0)
        return a;
    return gcd(b, a%b);
}
int main()
{
    int n, q; cin >> n >> q;
    // 下标Wie0的那个a[0]没有用 结合 gcd特点
    for (int i=1; i<=n; i++)
        cin >> a[i];
    // 预处理操作 lgcd[i]前i个数的最大公约数
    for (int i=1; i<=n; i++)
        lgcd[i] = gcd(lgcd[i-1], a[i]);
    // rgcd[i] 后n-i+1个数的最大公约数
    for (int i=n; i>=1; i--)
        rgcd[i] = gcd(rgcd[i+1], a[i]);

    while (q--) {
        int l, r; cin >> l >> r;
        cout << gcd(lgcd[l-1], rgcd[r+1]) << endl;
    }
    return 0;
}

【运行结果】

6 4
7 14 3 6 18 9
1 3
3
1 4
9
2 5
1
3 6
7