题解：学而思编程 数组推导

【题目来源】

学而思编程：数组推导

【题目描述】

已知数组 \(a\) 和数组 \(b\) 是都是由 \(n\) 个非负整数组成的数组，数组 \(b\) 中每一个元素 \(b_i\) 为数组 \(a\) 中前 \(i\) 个元素的最大值，如表达式所示：\(b_i = max\{a_1, a_2, \ldots, a_i\}\)

我们用 \(sum = a_1 + a_2 + \ldots + a_n\) 表示数组 \(a\) 的 \(n\) 个元素之和。

现在告诉你 \(b\) 数组，请你根据 \(b\) 数组反推 \(a\) 数组。\(a\) 数组可能并不唯一，请你根据 \(a\) 数组的所有可能情况给出 \(sum\) 的最小值和最大值分别是多少。

【输入】

第一行一个整数 \(n\)；

第二行 \(n\) 个整数 \(b_1, b_2, \ldots, b_n\)。

【输出】

一行两个空格隔开的整数。

【输入样例】

6
0 0 5 5 10 10

【输出样例】

15 30

【核心思想】

1. 问题分析：已知数组 \(b\) 满足 \(b_i = \max(a_1, a_2, \ldots, a_i)\)，即 \(b\) 是 \(a\) 的前缀最大值数组。要求根据 \(b\) 反推所有可能的 \(a\)，并求 \(sum(a)\) 的最小值和最大值。这是一个前缀最大值逆推 + 极值分析问题，关键在于理解 \(b\) 的非降性质以及 \(a_i\) 的取值约束。

2. 算法选择：

   • 最大值分析：\(a_i\) 最大可取 \(b_i\)，此时 \(sum = \sum_{i=1}^{n} b_i\)
   • 最小值分析：\(a_i\) 在满足前缀最大值约束下取最小值，仅在 \(b_i\) 首次出现时取 \(b_i\)，其余位置取 \(0\)

3. 关键步骤：

   • 初始化：读取 \(n\) 和数组 \(b[1..n]\)
   • 计算最大值：
     • mx = 0
     • 遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)：
       • mx += b[i]：每个 \(a_i\) 最大取 \(b_i\)，总和即为所有 \(b_i\) 之和
   • 计算最小值：
     • mn = 0
     • 遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)：
       • 若 \(b_i \neq b_{i-1}\)（\(b_i\) 首次出现，即前缀最大值上升）：
         • mn += b[i]：该位置 \(a_i\) 必须取 \(b_i\) 才能使前缀最大值达到 \(b_i\)
       • 否则（\(b_i = b_{i-1}\)，前缀最大值不变）：
         • \(a_i\) 可取 \(0\)（最小），不增加总和
   • 输出 mn 和 mx

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n)\)，两次线性遍历
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，存储数组 \(b[1..n]\)

5. 前缀最大值逆推的核心思想：

   • \(b\) 的非降性：由定义 \(b_i = \max(b_{i-1}, a_i)\) 可知 \(b\) 单调不减，且 \(b_i \geq a_i\)
   • 最大值构造：令所有 \(a_i = b_i\)，显然满足 \(b_i = \max(a_1, \ldots, a_i)\)，此时 \(sum\) 最大
   • 最小值构造：当 \(b_i = b_{i-1}\) 时，说明前 \(i-1\) 个元素中已有值为 \(b_i\) 的元素，因此 \(a_i\) 可取 \(0\) 而不影响前缀最大值；仅当 \(b_i > b_{i-1}\) 时，\(a_i\) 必须取 \(b_i\) 才能使前缀最大值上升
   • 约束传递：\(b_i\) 的变化点唯一确定了 \(a\) 中必须非零的位置，其余位置均可取 \(0\)
   • 适用于"前缀最值逆推 + 极值构造"类问题，通过分析变化点确定强制取值位置

【算法标签】

模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1e5 + 10;
int n, a[N], mx, mn;
signed main()
{
    cin >> n;  // 输入序列长度
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];  // 输入序列
        mx += a[i];   // 计算最大值：所有元素之和
    }

    // 计算最小值
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (a[i] != a[i - 1])  // 如果当前元素与前一个不同
        {
            mn += a[i];  // 加入最小值
        }
    }

    cout << mn << " " << mx << endl;  // 输出最小值最大值
    return 0;
}

【运行结果】

6
0 0 5 5 10 10
15 30