题解：学而思编程 数列调整

【题目来源】

学而思编程：数列调整

【题目描述】

回文数列是一类特殊的数列。简单来说，如果一个数列是回文数列，那么它与它颠倒过来的数列是一样的，例如：

\(1,2,3,4,5,4,3,2,1\)

\(5,4,3,2,1,1,2,3,4,5\)

现在小猴有一个 \(n\) 项的数列 \(a_1,a_2,\dots,a_n\)，你可以进行任意多次操作：选择任意一项，将其数值加 \(1\) 或者减 \(1\)。

请问最少需要多少次操作，才可以将这个数列变成一个回文数列。

【输入】

第一行一个正整数 \(n\)；

第二行 \(n\) 个正整数，从左到右依次表示数列对应项 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 的值。

【输出】

一个整数表示答案。

【输入样例】

3
1 2 3

【输出样例】

2

【核心思想】

1. 问题分析：给定长度为 \(n\) 的数列 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)，每次操作可将任意元素加 \(1\) 或减 \(1\)，求最少操作次数使数列变为回文。这是一个贪心配对问题，关键在于识别回文的对称性约束，将问题转化为对称位置差的绝对值之和。

2. 算法选择：

   • 对称位置配对：回文数列满足 \(a_i = a_{n-i+1}\)，因此只需考虑对称位置对
   • 绝对值最小化：使 \(a_i\) 和 \(a_{n-i+1}\) 相等的最少操作次数为 \(|a_i - a_{n-i+1}|\)

3. 关键步骤：

   • 初始化：读取 \(n\)（数列长度）和数组 \(a[1..n]\)
   • 对称配对求和：
     • 遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \(\lfloor n/2 \rfloor\)：
       • ans += |a_i - a_{n-i+1}|：每对对称位置需要 \(|a_i - a_{n-i+1}|\) 次操作才能使两者相等
   • 输出 ans

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n)\)，遍历前一半元素
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，存储数列数组

5. 贪心对称配对的核心思想：

   • 回文约束分解：回文条件 \(a_i = a_{n-i+1}\) 将 \(n\) 个变量约束为 \(\lfloor n/2 \rfloor\) 个独立的对称对，中间元素（\(n\) 为奇数时）无需调整
   • 单对最优性：对于一对对称位置 \((a_i, a_{n-i+1})\)，使两者相等的最优目标值为两者之间任意值，最少操作次数恒为 \(|a_i - a_{n-i+1}|\)（与目标值选择无关）
   • 对间独立性：不同对称对的调整互不干扰，总操作次数为各对之和，贪心累加即得全局最优
   • 操作语义：每次 \(+1\) 或 \(-1\) 操作使一个元素向目标值靠近一步，\(|a_i - a_{n-i+1}|\) 恰好是将较小者增加到较大者（或两者调整到中间某值）所需的最少步数
   • 适用于"回文变换 + 单元素单位调整"类问题，对称配对可将复杂全局优化分解为独立子问题

【解题思路】

【算法标签】

模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;  // 数组大小
long long n, ans, val[N];  // n: 数组长度, ans: 结果, val: 数组
int main()
{
    cin >> n;  // 输入数组长度
    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 输入数组元素
    {
        cin >> val[i];
    }

    // 计算对称位置差的绝对值之和
    for (int i = 1; i <= n / 2; i++)  // 遍历前一半元素
    {
        // 计算第i个元素和对称位置元素的差的绝对值
        // 对称位置：i 和 n-i+1
        ans += abs(val[i] - val[n - i + 1]);
    }
    cout << ans << endl;  // 输出结果
    return 0;
}

【运行结果】

3
1 2 3
2