题解：学而思编程幸运数字

【题目来源】

学而思编程：幸运数字

【题目描述】

小猴对数字非常敏感，他非常钟爱质数，因为他的幸运数字也与质数有关。

小猴的幸运数字有两种，假设 \(x\) 是小猴的幸运数字：

（1）\(x\) 是质数；

（2）\(x\) 不是质数，但是 \(x\) 可以是两个质数的积。

现在小猴想要知道区间 \([L,R]\) 中有多少个幸运数字。

【输入】

第一行一个整数 \(T\)，表示共有 \(T\) 测试数据；

每组测试数据，一行两个整数 \(L\)，\(R\)，表示区间 \([L,R]\)。

【输出】

每组测试数据一行，每行一个整数，第 \(i\) 行表示第 \(i\) 组数据中区间 \([L,R]\) 中有多少个幸运数字。

【输入样例】

2
1 6
150 200

【输出样例】

5
23

【核心思想】

问题分析：给定区间 \([L, R]\)，统计其中"幸运数字"的个数。幸运数字定义为：质数，或两个质数的乘积（包括相同质数的平方）。这是一个埃氏筛 + 双质数积标记 + 前缀和问题，关键在于离线预处理所有幸运数字，将每次查询优化到 \(O(1)\)。
算法选择：
- 埃拉托斯特尼筛法：预处理 \([2, N]\) 范围内所有质数
- 双质数积枚举：枚举所有质数对 \((p_i, p_j)\)（\(i \leq j\)），标记其乘积为幸运数字
- 前缀和：sum[i] 表示 \([1, i]\) 中幸运数字的个数，区间查询 \(O(1)\)
关键步骤：
- 质数筛预处理：
  - isPrime[x] = true（\(2 \leq x \leq N\)），isPrime[0] = isPrime[1] = false
  - 遍历 \(i\) 从 \(2\) 到 \(N\)：若 isPrime[i] 为真，则标记所有 \(i \times j\)（\(j \geq 2\)）为合数
- 收集质数表：
  - 遍历 \(i\) 从 \(2\) 到 \(N\)：若 isPrime[i] 为真，存入 prime[++cnt]
- 标记双质数积：
  - 遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 cnt（第一个质数 \(p_i\)）
    - 遍历 \(j\) 从 \(i\) 到 cnt（第二个质数 \(p_j\)，允许 \(p_i = p_j\)）
      - 若 prime[i] * prime[j] > N：break（后续更大，提前退出）
      - product[prime[i] * prime[j]] = true：标记该乘积为幸运数字
- 构建前缀和：
  - 遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \(N\)：
    - 若 isPrime[i] || product[i]：sum[i] = sum[i-1] + 1
    - 否则：sum[i] = sum[i-1]
- 处理 \(T\) 次查询：
  - 读取 \(L, R\)
  - ans = sum[R] - sum[L-1]
  - 输出 ans
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(N \log \log N + \frac{N}{\ln N} \times \frac{N}{\ln N} + T)\)，埃氏筛 \(O(N \log \log N)\)，双质数积枚举约 \(O(\frac{N^2}{(\ln N)^2})\)（实际因提前退出远小于此），每次查询 \(O(1)\)
- 空间复杂度：\(O(N)\)，isPrime、product、sum 三个布尔/整型数组
离线预处理的核心思想：
- 值域固定性：\(N = 10^7\) 固定，与查询无关，所有幸运数字可预先计算
- 质数积枚举优化：内层循环从 \(j = i\) 开始（避免重复），且当乘积超限时 break，利用质数密度递减的特性减少无效计算
- 两类幸运数字统一：质数本身和双质数积通过 || 合并，前缀和一次统计
- 查询与计算分离：预处理阶段完成所有 heavy 计算，查询阶段仅 \(O(1)\) 差分，适合多组测试数据
- 适用于"固定值域 + 多区间查询 + 数论性质判定"类问题，离线筛法配合前缀和可将每次查询降至常数时间

【解题思路】

【算法标签】

质数

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 10000000;  // 上限10^7
int T;
bool isPrime[N + 5], product[N + 5];  // isPrime标记素数，product标记两素数乘积
int prime[N + 5], cnt, sum[N + 5];  // prime存储素数，cnt素数个数，sum前缀和

// 埃拉托色尼筛法
void prime_table()
{
    memset(isPrime, true, sizeof(isPrime));  // 初始化所有数为素数
    isPrime[0] = isPrime[1] = false;  // 0和1不是素数

    for (int i = 2; i <= N; i++)  // 遍历每个数
    {
        if (isPrime[i] == true)  // 如果i是素数
        {
            for (int j = 2; j <= N / i; j++)  // 标记i的所有倍数
            {
                isPrime[i * j] = false;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    // 1. 筛出所有素数
    prime_table();

    // 2. 将素数存入prime数组
    for (int i = 2; i <= N; i++)
    {
        if (isPrime[i] == true)
        {
            prime[++cnt] = i;
        }
    }

    // 3. 标记所有两个素数（可相同）的乘积
    for (int i = 1; i <= cnt; i++)  // 第一个素数
    {
        for (int j = i; j <= cnt; j++)  // 第二个素数，从i开始（包括相同素数）
        {
            if (1ll * prime[i] * prime[j] > N)  // 超过范围，提前退出
            {
                break;
            }
            product[prime[i] * prime[j]] = true;  // 标记乘积
        }
    }

    // 4. 计算前缀和：统计每个数之前满足条件的数的个数
    for (int i = 1; i <= N; i++)
    {
        if (product[i] || isPrime[i])  // 如果是素数或两素数乘积
        {
            sum[i] = sum[i - 1] + 1;
        }
        else
        {
            sum[i] = sum[i - 1];
        }
    }

    // 5. 处理查询
    cin >> T;  // 查询次数
    while (T--)
    {
        int L, R;
        cin >> L >> R;  // 查询区间[L,R]
        cout << sum[R] - sum[L - 1] << endl;  // 前缀和计算区间和
    }
    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-07-04 14:28 团爸讲算法阅读(5) 评论(0) 收藏举报

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